Теоретический материал: Переменные величины и аргумент

Алгебра

Глава 5. Функции и их графики

5.2. Переменные величины и аргумент

Учитель

Если, например, поезд движется равномерно, то его скорость $v$ постоянная (пусть $v=60$ км/ч), а время движения $t$ и пройденный путь $s$ изменяются, причем путь зависит от времени движения. Эта зависимость выражается формулой: $s=60t$ (или в общем виде $s=vt$ ). По этой формуле можно вычислить путь, пройденный за любое указанное время . Так, за $3$ часа $s=60\cdot3=180$ (км), за $10,7$ часа $s=60\cdot10,7=642$ (км).
Эту же зависимостьмежду $s$ и $t$ выразим таблицей:

$\begin{array}{cccccccccccc}t&0&1&2&3&4&5&\cdots&8&\cdots&15&\cdots\\s&0&60&120&180&240&300&\cdots&480&\cdots&900&\cdots\end{array}$

Ученик

Что значит $v$ постоянная?

Учитель

В равномерном движении мы имеем дело с тремя величинами: скоростью, временем и путем, причем скорость есть величина постоянная, а время и путь — переменные.

Определение

Величина, значение которой в данном процессе остается неизменным, называется постоянной. Величина, значение которой в рассматриваемом процессе изменяется, называется переменной.

Ученик

Как связаны между собой скорость, путь и время?

Определение

Если две величины связаны между собой так, что каждому допустимому значению одной соответствует определенное значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая — функцией этого аргумента.

Учитель

В нашем примере путь $s$ есть функция от времени $t$ , которое является аргументом.

Ученик

Как можно задавать функцию?

Учитель

Мы уже указали здесь два способа задания функции: аналитический (при помощи формулы; в нашем примере $s=60t$ или $s=v\cdot{t}$ ) и табличный (при помощи таблицы). Возможен еще и третий способ — графический (при помощи графика).

Ученик

Что является областью определения заданной функции?

Учитель

В связи с этим дадим определение.

Определение

Множество всех допустимых значений аргумента называют областью определения функции.

Аргумент может принимать любое, ни от чего не зависящее значение из области определения функции, поэтому аргумент еще называют независимой переменной величиной, а функцию — зависимой переменной, так как ее значение зависит от того, какое значение принимает аргумент.

Приведем другие примеры функций.

Площадь квадрата $Q$ является функцией длины его стороны $a$ , что выражается аналитически так: $Q=a^2$ . Область определения этой функции — множество всех положительных чисел (длина стороны может быть только положительным числом).

Длина окружности $C$ есть функция длины ее радиуса $R$ , а именно: $C=2\pi R$ ; здесь $2{\pi}$ — постоянная величина. Давая любые положительные значения аргументу $R$ , будем получать соответствующие значения функции — длины окружности. Но если аргументом сделать длину окружности и ей давать любые положительные значения, то функцией от $C$ будет радиус $R$ , что выразится формулой $R=\frac {C}{2\pi}$ . Эта функция обратна функции $C = 2\pi R$ . Функция может быть и от нескольких аргументов.

circ1
circ2

Так, площадь прямоугольника $Q$ есть функция от его основания $a$ и высоты $h$ ; при изменении $a$ и $h$ изменяется и площадь: $Q=a\cdot{h}$ .

Любое алгебраическое выражение можно рассматривать как функцию от входящих в него букв. Обозначим через $A$ , например, выражение $\frac{a(1-a)}{a-2}$ . Тогда $A$ есть функция от аргумента $a$ . Давая аргументу любые значения, кроме $2$ , будем получать соответствующие значения $A$ .

Аргумент обычно обозначают буквой $x$ , а функцию — буквой $y$ . Зависимость между функцией и аргументом называют функциональной зависимостью.