Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 5. Функции и их графики

5.3. Прямо пропорциональная зависимость и ее график

Учитель

Рассмотрим простейший пример функциональной зависимости. Зависимость между двумя переменными величинами $x$ и $y$, выражающаяся формулой $y=kx$, где постоянная величина $k$ есть положительное или отрицательное число, называется прямо пропорциональной зависимостью. $k$ называют коэффициентом пропорциональности.

Определение:

Величины, находящиеся в прямо пропорциональной зависимости между собой, называются прямо пропорциональными.

Если произвольные значения $x$ умножать на число $k$, то будем получать соответствующие значения $y$. Следовательно, $x$ — аргумент,$y$ — функция от $x$.

Пусть $k=2,5$; составим таблицу функции $y=2,5x$:

Каждой паре чисел этой таблицы соответствует точка на координатной плоскости. Построим точки с такими координатами: $O(0;0)$, $A(1;2,5)$, $B(2;5)$, $C(3;7,5)$, $D(4;10)$, $E(-1;-2,5)$, $F(-2;-5)$, $G(-3;-7,5)$, $H(-4;-10)$. Все эти точки оказались на одной прямой, проходящей через начало координат. Пар чисел, удовлетворяющих формуле $y=2,5x$, может быть бесконечно много. Можно предположить, что и бесконечное множество соответствующих им точек принадлежит той же прямой.

График1 $y=kx$

Определение:

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле ( определению ) данной функции, называют графиком этой функции.

Графиком прямо пропорциональной зависимости $y=kx$ является прямая, проходящая через начало координат и через точку с абсциссой $1$ и ординатой $k$ (смотри рисунок ниже).

График2 $y=kx$

Поскольку одна точка прямой, являющейся графиком функции $y=kx$, всегда известна $(0;0)$, то достаточно найти еще одну ее точку. Удобнее всего взять точку с абсциссой $x=1$. Тогда ордината этой точки $y=k$, т.е. равна коэффициенту пропорциональности. Так, график функции $y=\frac{3x}{4}$ пройдет через точку $N(1;\frac{3}{4})$, а график функции $y=2,5x$ — через точку $A(1; 2,5)$; график функции с отрицательным $k$, например $y=-2x$, пройдет через точку $M(1; -2)$.

Из сравнения этих трех графиков можно сделать следующие выводы:

1)если $k>0$, то график проходит в четвертях $I$ и $III$;

2) если $k$, то график проходит в четвертях $II$ и $IV$.