Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 5. Функции и их графики

5.5. Линейная функция и ее график

Учитель

Функция, находящаяся в прямо пропорциональной зависимости от аргумента, аналитически выражалась одночленом $kx$, содержащим аргумент в первой степени. Теперь рассмотрим функцию, выражающуюся двучленом $kx+b$, который также содержит аргумент только в первой степени. $k$ и $b$ здесь постоянные величины, любые действительные числа. Такой двучлен называют двучленом первой степени или линейным двучленом относительно $x$.

Определение

Двучлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента: $y=kx+b$.

Ученик

Что является графиком линейной функции?

Учитель

Определение

График линейной функции $y=kx+b$ есть прямая линия, параллельная графику функции $y=kx$ и отсекающая на оси ординат отрезок $b$.

Убедимся в этом. Пусть прямая $OM$ является графиком функции $y=kx$. Пусть $b>0$. Прибавим к ординате $(LM)$ какой — нибудь точки прямой $OM$ отрезок $MN$, имеющий длину $b$. Тогда $OL=x$, $LM=kx$ и $LN=kx+b$, т.е.точка $N$ с абсциссой $x$ и ординатой $kx+b$ принадлежит графику функции $y=kx+b$. Если через точку $N$ провести прямую $NN'$, параллельную прямой $OM$, то прямая $NN'$ и будет графиком функции $y=kx+b$. В самом деле, $M'N'=MN$ и $M'N=b$, поэтому ордината любой точки ( например $N'$ ) прямой $NN'$ равна соответствующей ординате $(L'M')$ точки прямой $OM$ плюс $b$. Следовательно, координаты всех точек прямой $NN'$ удовлетворяют формуле $y=kx+b$. Очевидно, что координаты ни одной точки, не лежащей на прямой $NN'$, не удовлетворяют этой формуле, так как ордината такой точки получается из $L'M'$ прибавлением отрезка, большего или меньшего, чем $b$.

Ученик

Какой будет график, если $b$?

Учитель

Если $b$, то график линейной функции пересекает отрицательную полуось ординат.

Ученик

А если $b=0$?

Учитель

Функция $y=kx$ является частным случаем линейной функции при $b=0$. Если $b\ne0$, а $k=0$, то линейная функция принимает вид $y=b$ ( $y=0\cdot{x}+b$, т.е. при любых значениях $x$ функция равна $b$ ). Ее графиком будет прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке с ординатой $b$. Если $k=0$ и $b=0$, то $y=0\cdot{x}+0=0$, т.е. при любых значениях $x$ функция равна нулю. Графиком $y=0$ будет прямая, совпадающая с осью абсцисс.

Для построения графика линейной функции, например $y=2x-3$, удобнее всего построить такие две точки искомой прямой: одну с абсциссой $x=0$ (ее ордината получается из формулы функции: $y=2\cdot0-3=-3$ ) и другую с ординатой $y=0$ (ее абсцисса: $0=2x-3$, $x=1,5$ ). Через точки ($0;-3$) и ($1,5;0$) проводим прямую — график $y=2x-3$.