Математика

§4. Немного о четырехмерном пространстве

1. Алгебра и геометрия.

Теперь вы уже знаете кое-что о методе координат, и мы можем поговорить с вами об интересных вещах, больше связанных с современной математикой.

Алгебра и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было бы изложить весь школьный курс геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Курс планиметрии начинался бы словами: «Назовем точкой пару чисел (x,y)...» Далее можно было бы определить окружность как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению вида (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 . Прямой линией называлась бы совокупность точек, удовлетворяющих уравнению ax+by=c. Многие другие фигуры можно было бы также охарактеризовать системами уравнений и неравенств. Все геометрические теоремы превратились бы при этом в некоторые алгебраические соотношения.

Установление связи между алгеброй, с одной стороны, и геометрией — с другой, было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями. Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596— 1650). В последней части большого философского трактата Декарта, вышедшей в 1637 г., дано описание метода координат и его применение к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.

Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия — это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитическими (т.е алгебраическими) средствами. Хотя аналитическая геометрия является сейчас уже вполне развившимся и законченным разделом математики, идеи, лежащие в ее основе, породили новые отрасли математики. Возникла и развивается алгебраическая геометрия, которая изучает свойства линий и поверхностей, заданных алгебранческими уравнениями. Эту часть математики никак нельзя считать законченной.

Как раз в последние годы в ней получены новые фундаментальные результаты, оказавшие большое влияние и на другие разделы математики.