Математика

§4. Немного о четырехмерном пространстве

2. Геометрия помогает считать.

При решении геометрических задач на первый план выступает одна сторона метода координат — аналитическое истолкование геометрических понятий, перевод геометрических образов и соотношений на язык чисел. Однако другая сторона метода координат — геометрическая интерпретация чисел и числовых соотношений — приобрела не менее важное значение. Знаменитый математик Герман Минковский (1864—1909) иcпользовал геометрический подход для решения уравнений в целых числах, и математики его времени были поражены тем, насколько простыми и ясными оказались при этом некоторые, казавшиеся раньше очень трудными вопросы теории чисел.

Разберём один совсем простой пример, показывающий, как геометрия помогает решать алгебраические задачи.

Задача

Рассмотрим неравенство x^2+y^2 \leq n, где n — некоторое целое положительное число. Спрашивается: сколько решений в целых числах (N) имеет это неравенство?

Решение:

Для небольших значений n на этот вопрос легко ответить. Например, при n= 0 есть только одно решение: x=0, y=0. При n =1 к этому решению прибавляется еще четыре: x=0, y=1, x=1, y=0; x=0, y=-1 и x=-1, y=0. Значит, при n = 1 всего будет пять решений.

При n = 2 , кроме уже перечисленных, имеется еще четыре решения: x= 1, y=1; x=1, y=-1; x=-1, y=1; x=-1, y=-1.

Всего при n=2 имеется 9 решений. Продолжая таким образом, увидим, что число решений N растет с возрастанием n , но угадать точный закон изменения N довольно трудно. Можно предположить, что отношение \frac{N}{n} с возрастанием n стремится к некоторому числу.

С помощью геометрической интерпретации мы сейчас покажем, что это N действительно так и что отношение \frac{N}{n} стремится к известному вам числу \pi =3,14159265...

Будем рассматривать пару чисел (x, y) как точку на плоскости (с абсциссой x и ординатой y). Неравенство означает, что точка (x, y) принадлежит кругу K_n радиуса \sqrt{n} с центром в начале координат (рис. 59, на котором n=31 ). Таким образом, наше неравенство имеет столько решений в целых числах, сколько точек с целыми координатами попадает внутрь круга K_n или на его границу.

Геометрически очевидно, что точки с целыми координатами «равномерно распределены на плоскости» и что на единицу площади приходится одна точка. Поэтому ясно, что число решений должно быть примерно равно площади круга. Таким образом, мы получаем приближенную формулу:

N~\pi n

Теперь поставим аналогичную задачу для трех неизвестных: сколько целочисленных решений имеет неравенство

x^2+y^2+z^2 \leq n?

Ответ получается очень быстро, если опять использовать геометрическую интерпретацию. Число решений задачи приблизительно равно объему шара радиуса \sqrt{n}, т.е. \frac{4} {3} \pi n\sqrt{n}. Получить такой результат чисто алгебраически было бы трудно.

рис 59.