Математика

§4. Немного о четырехмерном пространстве

3. Нужно вводить четырехмерное пространство.

Но как быть, если нам требуется найти число целочисленных решений неравенства

x^2 + y^2 + z^2+t^2 \leq n,

в котором четыре неизвестных? При решении этой задачи для двух и трех неизвестных мы использовали геометрическую интерпретацию. Решение неравенства с двумя неизвестными, т. е. пару чисел, мы рассматривали как точку на плоскости; решение неравенства с тремя неизвестными, т. е. тройку чисел, — как точку в пространстве.

Нельзя ли и дальше использовать этот прием? Тогда четверку чисел (x, y, z,t) нужно считать точкой некоторого пространства, которое имеет четыре измерения (четырехмерного пространства). Неравенство x^2 + y^2 + z^2+t^2 \leq n можно тогда рассматривать как условие того, что точка (x, y,z, t) лежит внутри четырехмерного шара радиуса \sqrt n с центром в начале координат. Далее нужно будет разбить четырехмерное пространство на четырехмерные кубики. Наконец, нам понадобится вычисление объема четырехмерного шара. Иными словами, мы должны начать развивать геометрию четырехмерного пространства.

Объем четырехмерного шара равен \frac{\pi^2 R^4}{2}. Для сравнения укажем еще, что объем пятимерного шара равен \frac {8\pi^2 R^5}{15}, шестемерного \frac{\pi^3 R^6}{6}, семимерного \frac{16\pi^3 R^7}{105} .

Мы сможем лишь немножко приоткрыть дверь в четырехмерное пространство и познакомить вас с некоторыми его особенностями.

Насколько серьезно можно говорить об этом воображаемом четырехмерном пространстве, насколько можно строить геометрию этого пространства по аналогии с обычной геометрией, в чем будет сходство и в чем различие между трехмерной и четырехмерной геометрией? Изучая эти вопросы, математики получили такой ответ.

Да, такую геометрию развивать можно, она во многом похожа на обычную. Более того, она содержит в себе обычную геометрию как составную часть, подобно тому как стереометрия (геометрия в пространстве) содержит в себе планиметрию. Но, конечно, геометрия четырехмерного пространства будет иметь и очень существенные отличия от обычной геометрии.

Но мы покажем сейчас, что эти особенности, по существу, очень похожи на те особенности, которыми отличается геометрия трехмерного пространства от геометрии двумерной плоскости.