ФиГрафики

Функции и графики

Введение

Научиться строить графики по книге нелегко: читателю не хватает доски, на которой во время урока или лекции преподаватель постепенно строит график. Поэтому в этой статье нет чертежей, на которых дается обычно только окончательной вид графика: художники превратили рисунки в некоторое подобие доски. Следя за рисунками, вам нетрудно будет воспроизвести шаг за шагом весь процесс построения графика. Часть теоретического материала изложена в виде задач. Для понимания текста необходимо внимательно разбирать все задачи и примеры, помещенные в тексте.

На рисунке 1 вы видите две кривые, начерченные специальной программой, отслеживающей загрузку центрального процессора компьютера.

Рис. 1

На рисунке кардиограмма работы сердца человека.

Рис. 2

А здесь показаны характеристики работы двигателя, ходовой части, а также тормозной системы автомобиля (рис. 3).

Рис. 3

Пользователь персонального компьютера может определить насколько эффективен тот или другой режим работы по степени загрузки процессора. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности; изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер на станции технического осмотра делает заключение об исправности тормозной системы автомобиля по изображенным графикам. Все эти люди изучают некоторые функции по графикам этих функций.

Что же такое функция и что же такое график функции?

Прежде чем дать точное определение функции, поговорим немного об этом понятии. Описательно говоря, функция — это когда каждому значению некоторой величины, которую математики называют аргументом и обозначают обычно буквой $x$, отвечает значение другой величины $y$, называемой функцией.

Перейдем теперь к точным определениям. Когда говорят, что величина $y$ есть функция величины $x$, то прежде всего указывают, какие значения может принимать $x$. Эти «разрешенные» значения аргумента $x$ называются допустимыми значениями, а множество всех допустимых значений величины $x$ называется областыо определения функции $y$.

Например, если мы говорим, что объем шара $V$ есть функция его радиуса $R$, то областью определения функции $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ будут все числа, большие нуля, поскольку величина радиуса шара $R$ может быть только положительным числом.

Всегда, когда задается функция, необходимо указывать ее область определения.

Определение 1.

Мы говорим, что $y$ есть функция величины $x$, если

1) указано, какие значения $x$ являются допустимыми, т.е. задана область определения функции, и если

2) каждому допустимому значению $x$ соответствует в точности одно значение величины $y$.

Коротко вместо слов «величина $y$ есть функция величины $x$ записывают:

$y=f(x)$

(читается: «игрек равно эф от икс»).

Запись $f(a)$ означает численное значение функции $f(x)$, соответствующее значению $x$, равному $a$.

Например, если

$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$,

то

$f(2)=\frac{1}{2^2+1}=\frac{1}{5}$,

$f(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}$,

$f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1$ и т. д.

Правило, с помощью которого по значению $x$ находится соответствующее значение $y$, может задаваться различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается. Если вам сказано, что $y$ есть функция от $x$, то вы должны проверить только, что:

1) вам задана область определения, т. е. указано, какие значения может принимать $x$, и

2) дано правило, по которому каждому допустимому значению $x$ вы можете поставить в соответствие единственное значение $y$.

Каким может быть это правило?

Приведем несколько примеров.

1. Пусть сказано, что это $x$ — это любое действительное число и $y$ находится по формуле

$y=x^2$.

Функция $y=x^2$ задана формулой.

Правило может быть и словесным.
2. Функция $y$ задается следующим образом: если $x$ — положительное число, то $y$ равно $1$ , если $x$ — отрицательное число, то $y$ равно $-1$, если $x$ равно нулю, то $y$ равно $0$.

Приведем еще один пример функции, задаваемой словесным правилом.

3. Каждое число $x$ можно записать в виде

$x=y+\alpha$ ,

где $\alpha$ — не отрицательное число, меньшее единицы, а $y$ — целое число. Ясно, что каждому числу $x$ соответствует единственное число $y$, т. е. $y$ есть функция от $x$. Область определения этой функции — вся числовая ось. Эта функция называется «целая часть $x$» и обозначается так:

$y=[x]$.

Например,

$[3,53]=3$, $[4]=4$, $[0,3]=0$,

$[-0,03]=-1$ .

Мы будем использовать эту функцию в наших упражнениях.

4. Рассмотрим функцию $y=f(x)$, заданную формулой

$y=\frac{\sqrt{x+3}}{x-5}$

Что разумно считать ее областью определения?

Если функция задана формулой, то рассматривается обычно ее так называемая естественная область определения, т. е. множество всех чисел, для которых можно выполнить действия, указанные формулой. Значит, в область определения нашей функции не входят число $5$ (так как при $x=5$ знаменатель дроби обращается в нуль) и значения $x$, меньшие чем $-3$ (так как при $x\lt -3$ подкоренное выражение отрицательно). Итак, естественная область определения функции $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x-5}$ — это все числа, удовлетворяющие соотношениям:

$x\geq{-3}, x\neq{5}$.

Функцию можно изображать геометрически с помощью графика. Чтобы построить график некоторой функции,

	рис.5
Рис. 4	Рис. 5

рассмотрим некоторое допустимое значение $x$ и отвечающее ему значение $y$. Например, пусть значение $x$ — это число $a$, а соответствующее ему значение $y$ число $b$. Эту пару чисел $a$ и $b$ изобразим на плоскости точкой с координатами $(a, b)$. Построим такие точки для всех допустимых значений $x$. Набор получившихся точек и есть график функции.

Определение 2.

График функции — это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента $x$, а ординаты — соответствующими значениями функции $y$.

Например, здесь (рис. 4) изображен график функции $y=[x]$. Он состоит из бесконечного множества горизонтальных отрезков. Стрелочки означают, что правые концы этих отрезков не принадлежат графику (а левые принадлежат).

График может служить правилом, задающим функцию. Например, по характеристике полупроводникового элемента можно определить, что если аргумент $U$ равен $0,68$ (вольт), то функция $I$ равна $1,24$ (миллиампер) (рис. 5).

Изображать функции графиками очень удобно, потому что, поглядев на графики, можно сразу отличить одну функцию от другой.

На рисунке 6  показаны графики двух функций, которые задаются очень похожими формулами:

$y=\frac{1}{x^2-2x+3}$ и $y=\frac{1}{x^2+2x-3}$.

рис 6

Рис. 6

Разницу в поведении этих двух функций можно, конечно, обнаружить и по формулам. Но если посмотреть на их графики, эта разница сразу бросается в глаза.

Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым. Поэтому инженер или ученый, получив интересующую его функцию в виде формулы или таблицы, обычно берется за карандаш, набрасывает эскиз графика и смотрит, как ведет себя функция, как она «выглядит».