Функции и графики. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Функции и графики

§1. Некоторые примеры

Шаг 4.

График многочлена

мы тоже начнем строить по точкам. Взяв для аргумента значения, равные $0$, $1$, $2$, мы получим значения функции, равные нулю. Возьмем еще значение $x=-1$. Снова получим, что $y$ равно нулю. Соответствующие точки графика функции $(0,0)$, $(1,0)$, $(2,0)$, $(-1,0)$ лежат на оси $Ox$. Если ограничиться этими четырьмя значениями аргумента, то «плавной» кривой, соединяющей полученные точки, будет ось абсцисс. Однако ясно, что ось абсцисс не является графиком пашей функции: ведь многочлен (4) не может быть равен нулю при всех значениях $x$. Возьмем еще два значения аргумента $x=-2$ и $x=3$. Соответствующие точки $(-2,24)$ и $(3,24)$ уже не лежат на $Oy$ и $Ox$, а, напротив, расположены очень далеко от нее.

Как выглядит график, остается по-прежнему неясным. Можно, конечно, как мы делали раньше, найти достаточное количество промежуточных точек и приблизительнo построить график, но этот способ не очень надежен. Попробуем поступить иначе. Выясним, где функция положительна (и, значит, график лежит выше оси $Ox$) и где отрицательна (т. е. график лежит ниже оси $Ox$). Разложим для этого многочлен, задающий функцию, на множители:

$y= x^4-2x^3-x^2+2x = x^4-2x^3-x^2-2x=x^3(x-2)-x(x-2)=(x^3-x)(x-2)=x(x^2-1)(x-2)=x(x+1)(x-1)(x-2)$.

Теперь видно, что наша функция равна нулю только в тех четырех точках, которые мы уже нанесли на график. Левее точки, $x=-1$ все четыре сомножителя отрицательны — функция положительная. Между точками $x=-1$ и $x=0$ (т. е. на промежутке $-1\lt x \lt 0$) множитель $x+1$ становится положительным, а остальные остаются отрицательными — функция отрицательна. На участке $0\lt x \lt 1$ имеем два положительных сомножителя и два отрицательных — функция положительна. На следующем участке функция снова отрицательна. Наконец, при переходе через точку $x=2$ и последний из сомножителей становится положительным — функция становится положительной. График функции представляется нам теперь примерно в таком виде, как на рисунке.