ФиГрафики

Функции и графики

§1. Некоторые примеры

Шаг 5.

Перейдем к построению графика функции $y= \frac{1}{3 x^2-1}$, о котором мы уже говорили.

Отметим на рисунке точки графика, отвечающие значениям $x=-1,\, \,0, \,1, \,2$, и соединим их линией. Получится примерно так, как на рисунке.

Возьмем теперь $x= \frac{1}{2}$. Мы получим $y=-4$, и точка $(\frac{1}{2};-4)$ лежит гораздо ниже нашей кривой. Значит, между $x=0$ и $x=1$ график идет совсем по-другому!

Более точный ход графика мы изобразим на рисунке. Возьмем еще $x=1\frac{1}{2}$ и $x=2\frac{1}{2}$. Соответствующие точки довольно хорошо, ложатся на нашу кривую.

Но как же проходит график между точками $x=0$ и $x=1$?

Возьмем $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{3}{4}$ . Получим соответственно $y=-\frac{16}{13} \approx -1\frac{1}{4}$ и $y=\frac{16}{11} \approx 1\frac{1}{2}$. Ход графика между точками $x=0$ и $x=\frac{1}{2}$ несколько прояснился, но, как ведет себя функция между $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{3}{4}$ по прежнему непонятно.

Если мы возьмем еще несколько промежуточных значений между $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{3}{4}$, то увидим, что соответствующие точки графика ложатся не на одну, а на две плавные кривые и график приобретает примерно такой вид, как на рисунке.

Вы теперь хорошо понимаете, что построение графика по точкам — это рискованный и длинный путь. Если взять мало точек, то может оказаться, что мы получим совсем неверное представление о функции. Если же брать точки чаще, то будет много лишней работы и все равно останется сомнение, не пропустили ли мы чего-нибудь существенного. Как же быть?

Вспомним, что при построении графика $y= \frac{1}{x^2-1}$ на участках $2 \lt x \lt 3$ и $1 \lt x \lt 2$ никаких дополнительных точек не потребовалось, а на участке $0 \lt x \lt 1$ пришлось найти еще 5 точек. Так же при построении графика $y= \frac{1}{3x^2-1}$ основной работы потребовал участок $0 \lt x \lt 1$, где кривая разрывается на две ветви. Нельзя ли заранее выделить такие "опасные" участки?