ФиГрафики

Функции и графики

§1. Некоторые примеры

Шаг 6.

Вернемся в третий раз к графику $y=\frac{1}{3x^2 - 1}$.

Если посмотреть на выражение, задающее функцию, то сразу видно, что при двух значениях $x$ знаменатель этого выражения обращается в нуль. Эти значения равны $+\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $-\sqrt{\frac{1}{3}}$, т.е. примерно $\pm 0,58$. Одно из них лежит в промежутке $\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{3}{4}$, т.е. как раз там, где функция ведет себя необычно, график идет неплавно. Теперь понятно, почему это происходит.

Действительно, при значениях $x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ функция не определена (деление на нуль невозможно); значит, на графики не может быть точки с такими абсциссами — график не пересекает прямых $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $-\sqrt{\frac{1}{3}}$. Поэтому график распадается на три отдельные ветви. Если $x$ приближается к одному из "запрещенных" значений, например $\sqrt{\frac{1}{3}}$, то дробь $\frac{1}{3x^2 - 1}$ неограниченно растет по абсолютной величине — две ветви графика приближаются к вертикальной прямой $\sqrt{\frac{1}{3}}$.

Аналогично ведет себя наша (четная!) функция вблизи точки $x= - \sqrt{\frac{1}{3}}$.

Общий вид графика $y=\frac{1}{3x^2 - 1}$ показан на рисунке.

Мы понимаем теперь, что всегда, когда функция задана формулой, которая представляет собой дробь, необходимо обращать внимание на те значения аргумента, при которых знаменатель обращается в нуль.