§5. Дробно-линейная функция

Функции и графики

§5. Дробно-линейная функция

Шаг 1.

На рисунке изображен «график» функции  y=\frac{1}{x} в том виде, как его часто рисуют люди, не искушенные в построении графиков. Они рассуждают так: «При x=1 y=1. При x=2 y=\frac{1}{2} . При x = 3 y=\frac{1}{3}. При x=-1 y =-1. При x= 0 ? Неясно... Что значит \frac{1}{0}, неизвестно, поэтому x=0 пропустим..."

65

Вы уже знаете из предыдущего текста, что так рисовать графики нельзя. Чтобы представить себе правильную картину, заметим сначала, что при x= 0 функция не определена. В таких случаях интересно посмотреть, как ведет себя функция около этой точки. Когда x уменьшаясь по абсолютной величине, подходит к нулю, то y становится по абсолютной величине как угодно большим.

При этом если x приближается к нулю справа (x> 0), то y тоже положителен. Поэтому при приближении к нулю справа кривая графика поднимается вверх. Если же x приближается к нулю слева (x<0), то y отрицателен, поэтому слева график спускается вниз.

(рис. 66) (рис. 67)

Теперь ясно, что около «запрещенного» значения x=0 график, разорвавшись на две ветви, расходится вдоль оси Oy: правая ветвь идет вверх, а левая вниз.

(рис.68)

Посмотрим теперь, как ведет себя функция, если x увеличивается по абсолютной величине. Сначала рассмотрим правую ветвь, т. е. значения x>0. При положительном x значения функции y тоже положительны. Значит, вся правая ветвь расположена выше оси абсцисс. При увеличении x дробь \frac{1}{x} уменьшается. Поэтому при движении от нуля вправо кривая y=\frac{1}{x} опускается все ниже и ниже, причем она может подойти к оси Ox на как угодно маленькое расстояние. Для x<0 получается аналогичная картина.

(рис. 69)

Таким образом, при неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y=\frac{1}{x} неограниченно уменьшается по абсолютной величине, и обе ветви графика приближаются к оси абсцисс: правая сверху, левая снизу.

(рис. 70)

Кривая, являющаяся графиком y=\frac{1}{x}, называется гиперболой. Прямые, к которым приближаются ветви гиперболы, называются ее асимптотами.