ФиГрафики

Функции и графики

§5. Дробно-линейная функция

Шаг 1.

На рисунке изображен «график» функции $y=\frac{1}{x}$ в том виде, как его часто рисуют люди, не искушенные в построении графиков. Они рассуждают так: «При $x=1$ $y=1$. При $x=2$ $y=\frac{1}{2}$ . При $x = 3$ $y=\frac{1}{3}$. При $x=-1$ $y =-1$. При $x= 0$ ? Неясно... Что значит $\frac{1}{0}$, неизвестно, поэтому $x=0$ пропустим..."

Вы уже знаете из предыдущего текста, что так рисовать графики нельзя. Чтобы представить себе правильную картину, заметим сначала, что при $x= 0$ функция не определена. В таких случаях интересно посмотреть, как ведет себя функция около этой точки. Когда $x$ уменьшаясь по абсолютной величине, подходит к нулю, то $y$ становится по абсолютной величине как угодно большим.

При этом если $x$ приближается к нулю справа $(x> 0)$, то $y$ тоже положителен. Поэтому при приближении к нулю справа кривая графика поднимается вверх. Если же $x$ приближается к нулю слева $(x$, то $y$ отрицателен, поэтому слева график спускается вниз.

Теперь ясно, что около «запрещенного» значения $x=0$ график, разорвавшись на две ветви, расходится вдоль оси $Oy$: правая ветвь идет вверх, а левая вниз.

Посмотрим теперь, как ведет себя функция, если $x$ увеличивается по абсолютной величине. Сначала рассмотрим правую ветвь, т. е. значения $x>0$. При положительном $x$ значения функции $y$ тоже положительны. Значит, вся правая ветвь расположена выше оси абсцисс. При увеличении $x$ дробь $\frac{1}{x}$ уменьшается. Поэтому при движении от нуля вправо кривая $y=\frac{1}{x}$ опускается все ниже и ниже, причем она может подойти к оси $Ox$ на как угодно маленькое расстояние. Для $x$ получается аналогичная картина.

Таким образом, при неограниченном увеличении $x$ по абсолютной величине функция $y=\frac{1}{x}$ неограниченно уменьшается по абсолютной величине, и обе ветви графика приближаются к оси абсцисс: правая сверху, левая снизу.

Кривая, являющаяся графиком $y=\frac{1}{x}$, называется гиперболой. Прямые, к которым приближаются ветви гиперболы, называются ее асимптотами.