Функции и графики

§5. Дробно-линейная функция

Шаг 5.

Графики функций вида y=\frac{ax+b}{cx+d}, называемых дробно-линейными, по форме не отличаются от графика y=\frac{1}{x}. Мы предполагаем, конечно, что c\ne 0 (иначе получится линейная функция y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d} ) и что \frac{a}{c}\ne\frac{b}{d}, т.е. числитель не есть кратное знаменателя (как у функции y=\frac{4x+6}{2x+3} ), иначе функция постоянна.

Докажем это. Рассмотрим сначала пример y=\frac{2x+1}{x-3}. Выделим "целую часть" дроби, разделив числитель на знаменатель:

y=2+\frac{7}{x-3},

мы получим:

\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}.

Теперь видно, что график этой функции получается из графика y=\frac{1}{x} следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единицы вправо, растяжением в 7 раз вдоль оси Oy и сдвигом на 2 единицы вверх.

Любую дробь \frac{ax+b}{cx+d} можно записать аналогичным образом, выделив её "целую часть". Следовательно, графики всех дробно-линейных функций \frac{ax+b}{cx+d} есть гиперболы ( различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Ox ).

Замечание. Для построения графика какой-нибудь дробно-линейной функции не обязательно преобразовывать дробь, задающую эту функцию. Поскольку мы знаем,  что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются её ветви ( асимптоты гиперболы ), и ещё несколько точек.

Пример.

Построим график функции
y=\frac{3x+5}{2x+2}.

Решение:
Найдём сначала асимптоты этой гиперболы. Функция не определена там, где 2x+2=0, т.е. при x=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая x=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, посмотрим, к чему приближаются значения функции, когда аргумент возрастает по абсолютной величине. Для больших (по абсолютной величине) значений x
y=\frac{3x+5}{2x+2}\approx\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}.

Стало быть, горизонтальная асимптота — прямая y=\frac{3}{2}.

75

Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При x=0 имеем y=\frac{5}{2}. Функция равна нуля, когда 3x+5=0, т.е. при x=-\frac{5}{3}.
Отметив на чертеже точки A (0, \frac{5}{2}) и B (-\frac{5}{3}, 0), построим график.