§6. Графики рациональных функций

Функции и графики

§6. Графики рациональных функций

Шаг 1.

Рациональные функции — это функции, которые можно представить в виде частного двух многочленов. Построим график функции

y=\frac{x-1}{x^2+2 x+1}.

Обратим прежде всего внимание на то, что при x=-1 функция не определена (так как знаменатель дроби x^2+2x+1 при x=-1 равен нулю). При x, близких к -1, числитель дроби x-1 приблизительно равен -2, а знаменатель (x+1)^2 положителен и мал по абсолютной величине. Значит, вся дробь \frac{x-1}{(x+1)^2} будет отрицательна и велика по абсолютной величине (и тем больше, чем ближе к значению x=-1). Вывод: график распадается на две ветви (поскольку на нем нет точки с абсциссой, равной -1.); обе ветви уходят вниз, когда x приближается к -1.

рис.78

Обратим внимание на числитель. Он обращается в нуль при x=1. Значит, в точке x=1 график пересекает ось абсцисс. Нарисовав еще точку пересечения с осью Oy (при x=0, y=-1), мы можем примерно представить себе ход графика в средней его части.

рис.79

Остается посмотреть, что делается с функцией при больших по абсолютной величине значениях x.

Если x положительно и увеличивается, то числитель и знаменатель дроби увеличиваются. Но так как в числителе стоит x в первой степени, а в знаменателе есть член x^2 то знаменатель при больших x увеличивается гораздо быстрее, чем числитель. Поэтому при неограниченном увеличении x функция y=\frac{x-1}{x^2+2 x +1} будет все больше и больше приближаться к нулю. Таким образом, правая ветвь графика правее точки x=1 немного поднимается над осью абсцисс, а потом опять начнет опускаться и будет приближаться к оси Ox.

рис.80


Аналогичные соображения покажут нам, что левая ветвь кривой при увеличении x по абсолютной величине тоже приближается к оси абсцисс, только не сверху, а снизу. Позже мы покажем, как можно точно найти место наивысшего подъема правой ветви графика.

По отмеченным деталям можно найти общий вид графика.

рис.81