§6. Графики рациональных функций
Функции и графики
§6. Графики рациональных функций
Шаг 1.
Рациональные функции — это функции, которые можно представить в виде частного двух многочленов. Построим график функции
Обратим прежде всего внимание на то, что при функция не определена (так как знаменатель дроби
при
равен нулю). При
, близких к
, числитель дроби
приблизительно равен
, а знаменатель
положителен и мал по абсолютной величине. Значит, вся дробь
будет отрицательна и велика по абсолютной величине (и тем больше, чем ближе к значению
). Вывод: график распадается на две ветви (поскольку на нем нет точки с абсциссой, равной
.); обе ветви уходят вниз, когда
приближается к
.
Обратим внимание на числитель. Он обращается в нуль при . Значит, в точке
график пересекает ось абсцисс. Нарисовав еще точку пересечения с осью
(при
,
), мы можем примерно представить себе ход графика в средней его части.
Остается посмотреть, что делается с функцией при больших по абсолютной величине значениях .
Если положительно и увеличивается, то числитель и знаменатель дроби увеличиваются. Но так как в числителе стоит
в первой степени, а в знаменателе есть член
то знаменатель при больших
увеличивается гораздо быстрее, чем числитель. Поэтому при неограниченном увеличении
функция
будет все больше и больше приближаться к нулю. Таким образом, правая ветвь графика правее точки
немного поднимается над осью абсцисс, а потом опять начнет опускаться и будет приближаться к оси
.
Аналогичные соображения покажут нам, что левая ветвь кривой при увеличении по абсолютной величине тоже приближается к оси абсцисс, только не сверху, а снизу. Позже мы покажем, как можно точно найти место наивысшего подъема правой ветви графика.
По отмеченным деталям можно найти общий вид графика.