ЭМАлгебра

Алгебра

Историческая справка

Системы счисления и непозиционные системы счисления

Учитель

Способ наименования и записи чисел принято называть системой счисления. Наиболее привычной для нас и общепринятой является позиционная десятичная система счисления.

Чтобы лучше её понять, необходимо познакомиться с другими системами.

Все системы счисления деляться на две большие группы: позиционные и непозиционные. Проще начать знакомство с непозиционной системы, чтобы в дальнейшем легче было воспринимать понятие позиционной системы.

Самым простым способом записи натурального числа является изображение его с помощью соответствующего количесва черточек и палочек. Этим способом пользовались все народы в глубокой древности. Очевдно, что таким способом можно записать только небольшое число — в пределах $20$.

Следующим шагом было изобретение специальных знаков для обозначения чисел. Этим древние люди попытались уменьшить громоздкость записи чисел с помощью палочек и черточек. Интересно, что почти во всех системах единичка напоминает простую палочку. Это сходство сохранилось и до сегодняшнего дня.

В непозиционной системе счисления каждый знак, употребляемый для записи чисел, или , как мы сейчас говорим, каждая цифра, всегда означает одно и то же число. Слово "цифра" и обозначает знак, с помощью которого изображается число.

Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система, которая пришла к нам, как вы уже догадались, из Рима. В этой системе счисления роль цифр играют буквы латинского алфавита.

Например, число $128$ в римской системе счисления запишется следующим образом:

$128= CXXVIII$ .

Запись числа в римской систе­ме очень громоздка и неудобна, так как требует боль­шого числа различных знаков. Чтобы уменьшить число знаков, требуемых для записи какого-либо числа, в римской системе было введено следующее правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются, а меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например:

$VI = 5+1$, $IV = -1+5$;

$XI = 10 + 1$, $IX = -1 + 10$.

Следует отметить, что очень неудобны и сложны в непозиционной системе арифметические действия, невозможно записывать дробные и отрицательные числа, а также для записи больших чисел приходится вводить новые цифры и всегда находятся числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными цифрами.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что римская система была быстро вытеснена позиционной.

Запись чисел римскими цифрами применяется теперь очень редко и только в тех случаях, когда не требуется выполнять над числами арифметические действия, например, для обозначения исторических дат ( $XX$ век), для нумерации глав в книгах, в декоративных целях — циферблат часов и т. п.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, которые отдаленно напоминают римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

Необходимо отметить и алфавитную систему счисления. Она была распространена у древних армян, грузин, греков, арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.

В алфавитной системе счисления для записи чисел использовался буквенный алфавит.

Например, славянская алфавитная система счисления. У одних славянских народов числовые значения букв славянского алфавита, у других (русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак — «титло». Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

Римская система счисления и алфавитная система счисления относятся к непозиционным системам счисления.