Теоретический материал
Алгебра
Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа
3.1. Понятие рационального числа
Учитель
Рассматривая арифметическое действие над целыми числами — деление, мы заметили, что оно может привести к результату, который не принадлежит множеству целых чисел .
Другими словами, на множестве целых чисел операции сложения и вычитания выполняются всегда. Но в этом множестве не всегда выполняются операции деления: в общем случае результат от деления одного целого числа на другое целое число не всегда число целое.
Ученик
Да таких примеров можно привести много.
Пример.
/span>.Учитель
Опять же, возникает необходимость построить такое множество чисел, на котором были бы определены уже четыре действия — сложение, умножение, вычитание и деление. И такое множество есть — оно называется множеством рациональных чисел.
Определение
Рациональные числа образуют множество , состоящее из чисел вида , где , а .
Учитель
Термин "рациональное число" произошел от латинского слова "ratio", что в переводе означает "отношение" (дробь).
Определение
Назовем рациональное число положительным, если — положительное целое число, и отрицательным — в обратном случае. Каждое рациональное число либо равно нулю, либо положительно, либо отрицательно. Если положительное, то отрицательное.
Ученик
Нетрудно заметить, что множество целых чисел является подмножеством множества всех рациональных чисел.
Учитель
Действительно, если то число . В общем случае, если целое число делится на целое число , то рациональное цисло целое. Если не делится на , то рациональное число называется дробным.
Учитель
Продемонстрируем метод, позволяющий выписать попорядку все рациональные числа:
Ученик
Но в этом треугольнике имеются повторяющиеся рациональные числа.
Учитель
Здесь нет ничего страшного, т.к. важно, что данный алгоритм позволяет перечислить(пересчитать) все рациональные числа (пусть даже с повторениями).
Определение
Множество, элементы которого можно посчитать попорядку как множество натуральных чисел, называется счетным.
Ученик