Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.1. Понятие рационального  числа

Учитель

    Рассматривая арифметическое действие над целыми числами — деление, мы заметили, что оно может привести к результату, который не принадлежит множеству целых чисел \mathbb Z.  
    Другими словами, на множестве целых чисел \mathbb Z операции сложения и вычитания выполняются всегда. Но в этом множестве не всегда выполняются операции деления: в общем случае результат от деления одного целого числа на другое целое число не всегда число целое.  

Ученик

Да таких примеров можно привести много.

Пример.

-5:2=-2 \frac{1}{2} ,-13:4=-3 \frac{1}{4} не принадлежат множеству \mathbb Z.  

Учитель

    Опять же, возникает необходимость построить такое множество чисел, на котором были бы определены  уже четыре действия — сложение, умножение, вычитание и деление. И такое множество есть — оно называется множеством рациональных чисел.

Определение

Рациональные числа образуют множество \mathbb Q , состоящее из чисел вида \frac{m}{n} , где m \in \mathbb{Z}, а n \in \mathbb{N} .

Учитель

    Термин "рациональное число" произошел от латинского слова "ratio", что в переводе означает "отношение" (дробь).

Определение

Назовем рациональное число \frac{m}{n} положительным, если m —  положительное целое число, и отрицательным —  в обратном случае. Каждое рациональное число a либо равно нулю, либо положительно, либо отрицательно. Если a=\frac{m}{n} положительное, то -a=-\frac{m}{n} отрицательное.

Ученик

Нетрудно заметить, что множество целых чисел является подмножеством множества всех рациональных чисел.

Учитель

    Действительно, если a \in \mathbb{Z} то число \frac{a}{1}=a\in \mathbb{Q}. В общем случае, если целое число a делится на целое число b, то рациональное цисло \frac{a}{b} целое. Если a не делится на b, то рациональное число \frac{a}{b} называется дробным.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

Учитель

     Продемонстрируем метод, позволяющий выписать попорядку все рациональные числа:

1
\frac{1}{2}   1
  \frac{1}{3}   \frac{2}{3}  1
  \frac{1}{4}   \frac{1}{2}     \frac{3}{4} 1
  \frac{1}{5}   \frac{2}{5}    \frac{3}{5}    \frac{4}{5}  1
  \frac{1}{6}   \frac{1}{3}    \frac{1}{2}    \frac{2}{3}     \frac{5}{6} 1
  \frac{1}{7}   \frac{2}{7}   \frac{3}{7}     \frac{4}{7}   \frac{5}{7}    \frac{6}{7}    1

Ученик

Но в этом треугольнике имеются повторяющиеся рациональные числа.

Учитель

     Здесь нет ничего страшного, т.к. важно, что данный алгоритм позволяет перечислить(пересчитать) все рациональные числа (пусть даже с повторениями).

Определение

Множество, элементы которого можно посчитать попорядку как множество натуральных чисел, называется счетным.

Ученик

Все ясно, множества \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q — счетные.