Теоретический материал: 2 Правила выполнения арифметических операций над рациональными числами. Пропорции и проценты

Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.2. Правила выполнения арифметических операций над рациональными числами. Пропорции и проценты

Учитель

Заметим, если числитель и знаменатель дроби одновременно увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.

При любых значениях $a$ , $b$ , $c$ , где $b\neq 0$ , $c\neq 0$ , имеет место равенство $\frac{a}{b}=\frac{a \times c}{b\times c}$ .

Ученик

Уж больно мне последняя запись напоминает по виду пропорцию.

Учитель

Становишься замечательным, от слова "замечать". Вид один, а трактовка ра-а-а-зная. Что касается пропорции, то под этим понимают равенство двух отношений, например $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , $b\times d\neq 0$ .

Основное свойство пропорции: $a\times d=b\times c$ . Следствия: $a=\frac {b\times c}{d}$ , $d \neq 0$ ; $b=\frac {a\times d}{c}$ , $c \neq 0$ ; $c=\frac {a\times d}{b}$ , $b \neq 0$ ; $d=\frac {b\times c}{a}$ , $a \neq 0$ .

Ученик

Кажется мне, что с положительными рациональными числами в реальной жизни связана операция нахождения части от какой-либо величины или от части этой величины?

Учитель

Придется мне в таком случае остановиться и на понятии процента.

Определение

Сотая часть числа называется его процентом.

Ученик

Хотелось бы мне посмотреть еще и решение задач на проценты.

Учитель

Выполнение твоих деловых пожеланий для меня истинное наслаждение. Я позволю себе рассмотреть три типа задач на проценты.

1. Нахождение процентов от данного числа.

Чтобы найти $p$ % от числа $A$ , нужно найти $1$ % от $A$ (это $\frac {A}{100}$ ) и умножить на $p$ : $\frac {A}{100} \times p$ .

2. Нахождение числа по данной величине его процентов.

Чтобы найти число по данной величине $A$ его $p$ %, нужно найти $1$ % от искомого числа, разделив данную величину $A$ на $p$ и умножить полученный результат на 100: $\frac {A}{p} \times 100$ .

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Найти процентное отношение числа $a$ к числу $A$ значит найти сколько процентов составляет число $a$ от числа $A$ : $\frac {a}{A} \times 100$ %.

Ученик

Придется и мне продемонстрировать свои знания. Когда-то нам говорили, что деление числителя и знаменателя на их общий делитель называется сокращением дроби.

Учитель

Более того, если при этом делить на НОД, то сокращение называется полным. А теперь я тебе поясню некоторые действия над рациональными дробями. Слушай внимательно и запоминай.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1) заменить знаменатель на НОК;
2) найти дополнительные множители, разделив НОК на знаменатели дробей;
3) умножить числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сложим две дроби: $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}$ ; $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a \times m\pm c \times n}{\text {HOK(b,d)}}$ , где $m$ и $n$ — дополнительные множители ( $m=$ НОК : $b$ и $n=$ НОК : $d$ ).