Теоретический материал
Алгебра
Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа
3.2. Правила выполнения арифметических операций над рациональными числами. Пропорции и проценты
Учитель
Заметим, если числитель и знаменатель дроби одновременно увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.
При любых значениях , , , где , , имеет место равенство .
Ученик
Уж больно мне последняя запись напоминает по виду пропорцию.
Учитель
Становишься замечательным, от слова "замечать". Вид один, а трактовка ра-а-а-зная. Что касается пропорции, то под этим понимают равенство двух отношений, например , .
Основное свойство пропорции: . Следствия: , ; , ; , ; , .
Ученик
Кажется мне, что с положительными рациональными числами в реальной жизни связана операция нахождения части от какой-либо величины или от части этой величины?
Учитель
Придется мне в таком случае остановиться и на понятии процента.
Определение
Сотая часть числа называется его процентом.
Ученик
Хотелось бы мне посмотреть еще и решение задач на проценты.
Учитель
Выполнение твоих деловых пожеланий для меня истинное наслаждение. Я позволю себе рассмотреть три типа задач на проценты.
1. Нахождение процентов от данного числа.
Чтобы найти % от числа , нужно найти % от (это ) и умножить на : .
2. Нахождение числа по данной величине его процентов.
Чтобы найти число по данной величине его %, нужно найти % от искомого числа, разделив данную величину на и умножить полученный результат на 100: .
3. Нахождение процентного отношения чисел.
Найти процентное отношение числа к числу значит найти сколько процентов составляет число от числа : %.
Ученик
Придется и мне продемонстрировать свои знания. Когда-то нам говорили, что деление числителя и знаменателя на их общий делитель называется сокращением дроби.
Учитель
Более того, если при этом делить на НОД, то сокращение называется полным. А теперь я тебе поясню некоторые действия над рациональными дробями. Слушай внимательно и запоминай.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
1) заменить знаменатель на НОК;
2) найти дополнительные множители, разделив НОК на знаменатели дробей;
3) умножить числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Сложим две дроби: ; , где и — дополнительные множители ( НОК : и НОК : ).
Пример.
Ответ
Умножим и разделим две дроби.
Пример.
Ответ