Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.2. Правила выполнения арифметических операций над рациональными числами. Пропорции и проценты

Учитель

    Заметим, если числитель и знаменатель дроби одновременно увеличить или уменьшить  в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.

При любых значениях a, b, c, где b\neq 0, c\neq 0, имеет место равенство \frac{a}{b}=\frac{a \times c}{b\times c}.

Ученик

Уж больно мне последняя запись напоминает по виду пропорцию.

Учитель

    Становишься замечательным, от слова "замечать"smile. Вид один, а трактовка ра-а-а-зная. Что касается пропорции, то под этим понимают равенство двух отношений, например \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, b\times d\neq 0.

Основное свойство пропорции: a\times d=b\times c. Следствия: a=\frac {b\times c}{d}, d \neq 0; b=\frac {a\times d}{c}, c \neq 0; c=\frac {a\times d}{b}, b \neq 0; d=\frac {b\times c}{a}, a \neq 0.

Ученик

Кажется мне, что с положительными рациональными числами в реальной жизни связана операция нахождения части от какой-либо величины или от части этой величины?sad

Учитель

    Придется мне в таком случае остановиться и на понятии процента.

Определение

Сотая часть числа называется его процентом.

Ученик

Хотелось бы мне посмотреть еще  и решение задач на проценты.

Учитель

    Выполнение твоих деловых пожеланий для меня истинное наслаждение. Я позволю себе рассмотреть три типа задач на проценты.

1. Нахождение процентов от данного числа.

Чтобы найти p% от числа A, нужно найти 1% от A (это \frac {A}{100}) и умножить на p: \frac {A}{100} \times p.

2. Нахождение числа по данной величине его процентов.

Чтобы найти число по данной величине A его p%, нужно найти 1% от искомого числа, разделив данную величину A на p и умножить полученный результат на 100: \frac {A}{p} \times 100

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Найти процентное отношение числа a к числу A  значит  найти сколько процентов составляет число a от числа A: \frac {a}{A} \times 100%.

Ученик

Придется и мне продемонстрировать свои знания. Когда-то нам говорили, что деление числителя и знаменателя на их общий делитель называется сокращением дроби.

Учитель

    Более того, если при этом делить на НОД, то сокращение называется полным. А теперь я тебе поясню некоторые действия над рациональными дробями. Слушай внимательно и запоминай.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1) заменить знаменатель на НОК;
2) найти дополнительные множители, разделив НОК на знаменатели дробей;
3) умножить числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сложим две дроби: \frac{a}{b}\pm \frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}; \frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a \times m\pm c \times n}{\text {HOK(b,d)}}, где m и n — дополнительные множители (m= НОК : b и n= НОК : d).

Пример.

Сложить \frac {1}{2} и  \frac {2}{5}

 Ответ

\frac {9}{10} 

Умножим и разделим две дроби.

\frac {a}{b}\times \frac {c}{d}= \frac {a \times c}{b \times d}; \frac {a}{b}:\frac {c}{d}= \frac {a }{b} \times \frac {d }{c}=\frac {a \times d}{b \times c}.

Пример.

Перемножить \frac {1}{2} и \frac {2}{5}

 Ответ

\frac {1}{5}