Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.3. Периодические десятичные дроби

Учитель

Любую рациональную дробь можно превратить в равную ей десятичную путем деления в столбик числителя на знаменатель.

Ученик

Ха! В результате можем получить или целое число, или нет.

Учитель

Опять ты спешишь. Когда мы рассматривали целые числа, то там обсуждали теорему о делении с остатком для \frac {m}{n}, где m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, причем m>n, когда m>0 и -m>n, когда m. Здесь же при делении возможны два случая:
1) остаток может оказаться равным нулю, и частное выразится конечной десятичной дробью, например, 3:4=0,75 ;
2) нуль в остатке никогда не получится, так как остатки будут бесконечно повторяться, и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. Например, 2:3 = 0,6666 ... = 0,(6) .

Ученик

А число 6  в скобках  называется периодом.

Учитель

Тут ты действительно прав. Повторяющаяся группа цифр, в данном случае одна цифра 6, называется периодом.
Причем, если период начинается сразу после запятой, то такая периодическая дробь называется чистой (или простой), а если между запятой и первым периодом есть цифры, то смешанной периодической дробью. Например, 125:30=4,166 ... = 4,1(6) .

Ученик

Здесь я хочу тебя попросить об одном отдолжении. Я с трудом вспоминаю, что-то нам говорили о переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную. Напомни мне, пожалуйста, и приведи пример.

Учитель

Хорошо. Я сначала приведу примеры, а потом сформулирую правило.

2.375=2 \frac {375} {1000} = 2 \frac {3} {8};

0,(45)= \frac {45} {99} = \frac {5} {11};

0,12(3) =\frac{123-12} {900} = \frac{111}{900} =\frac{37}{300}.

Определение

Чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числителем является период, а знаменатель записывается цифрой 9, повторяющейся столько раз, сколько цифр в периоде.

Определение

Смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель получается вычитанием числа, стоящего между запятой и первым периодом, из числа, стоящего между запятой и вторым периодом, а в записи знаменателя имеется столько девяток, сколько цифр в периоде, и справа от девяток столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Ученик

Должен признаться, что первое правило еще можно запомнить, а вот второе Сюрприз.

Учитель

Ничего страшного нет. Несколько самостоятельно выполненных преобразований позволят хорошо усвоить эти правила.