Теоретический материал
Алгебра
Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа
3.3. Периодические десятичные дроби
Учитель
Любую рациональную дробь можно превратить в равную ей десятичную путем деления в столбик числителя на знаменатель.
Ученик
Ха! В результате можем получить или целое число, или нет.
Учитель
Опять ты спешишь. Когда мы рассматривали целые числа, то там обсуждали теорему о делении с остатком для , где , , причем , когда и , когда . Здесь же при делении возможны два случая:
1) остаток может оказаться равным нулю, и частное выразится конечной десятичной дробью, например, ;
2) нуль в остатке никогда не получится, так как остатки будут бесконечно повторяться, и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. Например, .
Ученик
А число в скобках называется периодом.
Учитель
Тут ты действительно прав. Повторяющаяся группа цифр, в данном случае одна цифра , называется периодом.
Причем, если период начинается сразу после запятой, то такая периодическая дробь называется чистой (или простой), а если между запятой и первым периодом есть цифры, то смешанной периодической дробью. Например, .
Ученик
Здесь я хочу тебя попросить об одном отдолжении. Я с трудом вспоминаю, что-то нам говорили о переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную. Напомни мне, пожалуйста, и приведи пример.
Учитель
Хорошо. Я сначала приведу примеры, а потом сформулирую правило.
Определение
Чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числителем является период, а знаменатель записывается цифрой , повторяющейся столько раз, сколько цифр в периоде.
Определение
Смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель получается вычитанием числа, стоящего между запятой и первым периодом, из числа, стоящего между запятой и вторым периодом, а в записи знаменателя имеется столько девяток, сколько цифр в периоде, и справа от девяток столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Ученик
Должен признаться, что первое правило еще можно запомнить, а вот второе .
Учитель
Ничего страшного нет. Несколько самостоятельно выполненных преобразований позволят хорошо усвоить эти правила.