Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.4. Иррациональные и действительные числа. Числовая ось

Ученик

Признаюсь, что при рассмотрении рациональных чисел в том месте, где речь шла о периодической десятичной дроби, мне не давала покоя мысль о том, когда может появиться непериодическая десятичная дробь? sad

Учитель

В данном случае я не хочу конкретно рассуждать, где и как может появиться непериодическая десятичная дробь. Ограничусь только определениями.

Определение

Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами.

Учитель

Ты должен вспомнить, что к иррациональным числам относится, в частности, число \pi , равное отношению длины окружности к диаметру.

Определение

Действительными (вещественными) числами называют множество \mathbb{R}, состоящее из всех р а ц и о н а л ь н ы х и всех и р р а ц и о н а л ь н ы х чисел.

Ученик

Получается, что множество действительных чисел состоит из всех целых чисел и всех десятичных дробей — конечных, периодических и бесконечных непериодических.

Учитель

Совершенно верно. А теперь самое время ввести в рассмотрение числовую ось.

Определение

Прямая, на которой каждому действительному числу соответствует определенная точка, называется числовой осью или числовой прямой.

Ученик

Ну меня этим не удивишь. Я почти на каждом уроке в школе рисую эту прямую, выбираю на ней положительное направление (слева направо) и начало отсчета — точку O, которой соответствует число нуль. Затем при необходимости откладываю на оси и помечаю \pm 1, \pm 2, \pm 3 и т.д.

Учитель

Молодец. Очевидно, что множество действительных чисел бесконечно. Надо еще отметить, что числовая прямая непрерывна, т.к. каждой точке на ней соответствует определенное действительное число. И все действительные числа на числовой прямой расположены в порядке возрастания от минус бесконечности ( -\infty) до плюс бесконечности (+\infty).

Определение

Два действительных числа называются противоположными, если соответствующие им точки числовой прямой симметричны относительно начальной точки O. Например, 0,5 и -0,5; \pi и-\pi.

Ученик

Что-то я припоминаю, что в свое время нам рассказывали про какую-то "абсолютную" величину действительного числа.

Учитель

Правильно поднимаешь вопрос. Если бы все числа были положительные, как, например, натуральные, то и говорить об абсолютной величине не было бы смысла. Но есть отрицательные действительные числа. Поэтому дадим определение.

Определение

Абсолютной величиной (модулем) отрицательного действительного числа называют противоположное ему положительное число.
Уславливаются, что модуль неотрицательного действительного числа равен самому числу.
Модуль обозначают двумя вертикальными черточками:
|-0,5|= 0,5 ; |-\pi|= \pi; |2| =2.

Учитель

Часто для большей наглядности используют геометрическую трактовку модуля действительного числа как расстояния на числовой оси от нуля до самого числа.

Всякое положительное число больше всякого отрицательного, например, -2,5 .

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше, например, -5,7 > -7,5, т.к. |-5,7| < |-7,5|.

Ученик

Все это хорошо! Но я до сих пор не понимаю, а как же записывать иррациональные числа?sad

Учитель

О! Это серьёзный вопрос! И, прежде, чем на него ответить, необходимо кое-что прояснить. smile