Элементарная математика. Алгебра.

3129

Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.6. Арифметический квадратный корень и его свойства

Учитель

Я буду вводить определения, а ты внимательно следи и не стесняйся задавать вопросы.

Определение

Арифметическим квадратным корнем из числа $d$ называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $d$, т.е. равенство $\sqrt d = b$ означает, что $d=b^2$ и $b \ge 0$.

Арифметическим корнем $n$ - ой степени $((n \ge 2) \in \mathbb{N})$ из неотрицательного числа $d$ называется такое неотрицательное число, $n$ -ая степень которого равна $d$, т.е. $(\sqrt[n]{d})^n = d$. Действие, посредством которого отыскивается корень данной степени из данного числа, называется извлечение корня.

Ученик

Я готов привести несколько примеров
$\sqrt {9} =3$ ; $\sqrt {0,49}=0,7$ ; $\sqrt {121}$.

Учитель

Неплохо. Перейдем к рассмотрению свойств арифметических корней.

Если $d\ge 0$ и $b \ge 0$ , то $\sqrt[n]{b \times d} = \sqrt[n]{b} \times \sqrt[n]{d}$ .

Если $d\gt 0$ и $b\ge 0$, то $\sqrt[n] {\frac {b}{d}} = \frac{\sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{d}}$.

Если $d\ge 0$ , то $\sqrt[k]{\sqrt[n]{d}} = \sqrt[kn]{d}$.

Если $d\ge 0$ , то $\sqrt[kn]{d^{mk}}=\sqrt[n]{d^m}$.

Если $d\ge 0$ , то $(\sqrt{d})^2 = d$.

$\sqrt {d^2} = |d|$ при любом значении $d$ .

Учитель

Вот здесь я позволю себе рассмотреть очень интересные примеры, которые связаны с представлением иррациональных чисел.

Пример.

Доказать, что если $d\in \mathbb{N}$ , то $\sqrt{d}$ либо натуральное число, либо иррациональное.

Доказательство.

Пусть $\sqrt{d}=\frac{m}{n}$, где $m\in\mathbb{N}$, $n\in\mathbb{N}$, $n\ne 1$, причем $m$ и $n$ — взаимно простые (т.е. дробь сократить нельзя). Тогда $d=\frac {m^2} {n^2}$, т.е. $\frac {m^2} {n^2}\in \mathbb{N}$. Но $m^2$ и $n^2$ — взаимно простые, поскольку числа $m$ и $n$ не имеют общих делителей и $n^2 \ne 1$, значит, $\frac {m^2} {n^2}$ не является натуральным числом. Пришли к противоречию.

Ученик

Так вот где скрываются эти иррациональные числа. Это $\sqrt {2}$, $\sqrt {3}$, $\sqrt {4}$, $\sqrt {5}$, $\sqrt {6}$, ... . Теперь многое становится понятным...

Учитель

Заметь, число $\sqrt {2}$ обозначает длину диагонали квадрата с единичными сторонами. Похожую интерпретацию можно дать и другим корням.

Ученик

Но появляются новые вопросы. Как, например, правильно извлечь квадратный корень, не имея калькулятора?

Учитель

Хороший вопрос, а самое главное — уместный! Про калькулятор ты молодец. Хочу тебе сказать, что у, практически, всех школьников бытует заблуждение относительно калькуляторов в плане выполнения ими действий над числами.
Когда мы вводим какое-либо число с "клавы" в память калькулятора, то оно непосредственно отображается в окошечке в виде последовательности цифр. А это значит, что мы не можем там написать $\sqrt {2}$. У большинства школьников именно такие калькуляторы, вернее сказать калькуляторы с таким программным обеспечением.
Но есть и други-и-и-е калькуляторы, на которые установлено программное обеспечение, позволяющее записывать и манипулировать иррациональными числами $\sqrt {2}$, $\sqrt {3}$, $\sqrt {4}$, $\sqrt {5}$, $\sqrt {6}$, ... в записанном только что виде. Такое программное обеспечение носит название компьютерных алгебраических систем.
Ну а теперь запишем алгоритм извлечения квадратного корня вручную, потому что на экзаменах и тестировании калькуляторами пользоваться запрещается!

Рисунок

Опишем действия, происходящие на рисунке.
1) Десятичную запись числа $273529$ разобьем на группы по две цифры.
2) Для старшей группы цифр, образующей число $27$, подберем такую цифру, чтобы ее квадрат был наибольшим, но не превосходил числа $27$; значит такой цифрой будет $5$.
3) Из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности (остатку) $27-25=2$ припишем справа следующую группу цифр $35$; получаем число $235$.
4) Удваиваем записанное в ответе число $5$ и приписываем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа $235$; такой цифрой будет $2$ ($102$×$2=204\leq235$, но $103$×$3=309>235$), которую и запишем в качестве второй цифры ответа.

5) Из числа $235$ вычитаем найденное в предыдущем пункте произведение $204$ и к остатку $31$ сносим следующую группу цифр $29$; получаем число $3129$.

6) Удваиваем записанное в ответе число $52$ и приписываем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа $3129$; такой цифрой будет $3$, она и записана в качестве третьей цифры ответа.