Алгебра

Глава 3. Рациональные, иррациональные и действительные числа

3.7. Степень с рациональным показателем

Учитель

    Для прояснения сути степени с рациональным показателем введем несколько определений.

 Определение

Нулевая степень  любого действительного числа, отличного от нуля, есть единица 

  Определение

Cтепень  любого действительного числа, отличного от нуля, с целым отрицательным показателем есть дробь, числитель которой единица, а знаменатель степень того же числа с показателем, противоположным показателю данной степени 

d^{-n} = \frac{1}{d^n} (d\ne 0) или  d^{n} = \frac{1}{d^{-n}} .

 Определение

d^{\frac {n}{m}}=\sqrt[m]{d^n} (d>0; m\in \mathbb{N}, m\ge 2, n\in \mathbb{Z}).

 Определение

0^{\frac {n}{m}}=0 (m, n\in \mathbb{N}) .

 Определение

Cтепень  положительного числа с отрицательным дробным  показателем есть дробь, числитель которой — 1, а знаменатель — степень того же положительного числа с дробным показателем, противоположным показателю  данной степени. 

d^{-\frac {n}{m}}=\frac {1}{d^{\frac{n}{m}}} (d>0; m, n\in \mathbb{N}).

Для любых  b>0,d>0   и любых рациональных чисел p и q выполняются следующие свойства:
d^p\times d^q= d^{p+q} ;

d^p:d^q= d^{p-q} ,

\left(d^p\right)^q= d^{p\times q};

(b\times d)^p=b^p\times d^p;

\left(\frac{d}{b}\right)^p=\frac{d^p}{b^p}.

Ученик

Вот здесь скрываются и другие иррациональные числа:
\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{5}, \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}  и т.д.

Учитель

    Правильно. Еще раз отметим, что на практике пользуются приближенными рациональными значениями иррациональных чисел, записанными конечными десятичными дробями, в то время как само иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь.smile

Ученик

Ну вот теперь я всё понял!