Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.2. Cвойства показательной функции

Свойства показательной функции при любом положительном значении ее основания $a$ вытекают из общих свойств степени положительного числа с любым действительным показателем.

Свойство 1

Показательная функция во всей ее области определения положительна: $a^x > 0$, так как положительное число $a$ в любой действительной степени положительно (если $x$ — рациональная дробь, то $a^x$ — арифметический корень). Это видно и на графиках, которые расположены выше оси $Ox$.

Свойство 2

Если $x=0$, то $a^x=1$ при любом $a > 0$ (все графики проходят через одну точку $(0; 1)$). При исследовании показательной функции надо различать два основных случая: когда $a > 1$ и когда $0 < a < 1$. Это влияет на следующие свойства показательной функции.

Свойство 3

Если $a > 1$ , то функция $y=a^x$ возрастающая (например, $y=2^x$ и $y=3^x$), т. е. большему значению аргумента (показателя степени) $x$ соответствует большее значение функции (степени) $a^x=y$. При этом, если
$x\rightarrow+\infty$, то $y\rightarrow+\infty$; если $x\rightarrow-\infty$, то $y\rightarrow0$. Если $0 < a < 1$ , то показательная функция $y=a^x$ убывающая (например, $y=(1/2)^x$ и $y=(1/3)^x$), т. е. большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y=a^x$. Если $x\rightarrow-\infty$, то $y\rightarrow+\infty$; если $x\rightarrow+\infty$, то $y\rightarrow0$.

С л е д с т в и е

Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от $1$, равны, то равны, и их показатели, т. е. если $a^{x_1}=a^{x_2}$, где $a > 0$ и $a\neq1$, то $x_1=x_2$.

Свойство 4

Если $a > 1$ , то при $x > 0$ функция $a^x$ $> 1$, а при $x < 0$ функция $0$ $a^x$ $1$. Если $0 < a < 1$, то, наоборот, при $x > 0$ функция $0 < a^x < 1$, а при $x < 0$ функция $a^x > 1$.