Теоретический материал
В работе над книгой принимали участие студенты 3 курса 2010/11 года Власик Сергей, Волотовцева Полина, Дайнеко Анна, Кабаков Андрей, Клепец Никита, Наганович Анжела, Окунев Глеб, Плескацевич Марина, Погирейчик Олег, Семашко Евгения, Турчиняк Александр, Углик Юлия.
Алгебра
17. Показательная и логарифмическая функции
17.3. Логарифм числа и логарифмическое тождество
Логарифмом данного числа пo данному основанию (записывается так: ) называется показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить данное число .
В виде равенства это определение логарифма запишется так:
Получили основное логарифмическое тождество.
Нахождение логарифма (показателя степени) по данному основанию степени и самой степени сводится к решению уравнения:
Корень этого уравнения:
Два последних равенства выражают одну и ту же зависимость между числами , и , хотя записаны они по-разному: первое при помощи степени, второе при помощи нового понятия и символа (логарифм). Отыскание как в одном, так и в другом из этих двух равенств означает одно и то же новое действие — нахождение логарифма числа по основанию . Надо уметь переходить от первого равенства ко второму и обратно.
Основание логарифма — это основание степени (показательной функции), поэтому оно должно быть положительно и отлично от единицы. Так как уравнение имеет корень только при , то и , т. е. существует только при .
Итак, только положительные числа имеют логарифмы по данному положительному основанию , отличному от единицы.
Примеры:
Здесь подобраны такие числа, логарифмы которых являются рациональными числами. Логарифмы же большинства действительных чисел по любому данному основанию (, ) есть числа иррациональные.