Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.3. Логарифм числа и логарифмическое тождество

Логарифмом данного числа b пo данному основанию a>0 (записывается так: \log_ab) называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить данное число b.

В виде равенства это определение логарифма запишется так:

a^{\log_ab}=b.

Получили основное логарифмическое тождество.

Нахождение логарифма (показателя степени) по данному основанию степени a и самой степени b сводится к решению уравнения:

a^x=b.

показательная функция

Корень этого уравнения:

\log_ab=x.

Два последних равенства выражают одну и ту же зави­симость между числами a, b и b, хотя записаны они по-разному: первое при помощи степени, второе при помощи нового понятия и символа \log (логарифм). Отыскание как в одном, так и в другом из этих двух равенств озна­чает одно и то же новое действие — нахождение логариф­ма числа b по основанию a. Надо уметь переходить от первого равенства ко второму и обратно.

Основание логарифма — это основание степени (по­казательной функции), поэтому оно должно быть поло­жительно и отлично от единицы. Так как урав­нение a^x=b имеет корень только при b>0, то и \log_ab, т. е. x существует только при b>0.

Итак, только положительные числа b имеют лога­рифмы \log_ab по данному положительному основанию a, отличному от единицы.

Примеры:

1) 2^{-4}=\frac{1}{16} поэтому \log_{2}\frac{1}{16}=-4;

2) 7^{0}=1 поэтому \log_{7}1=0, вообще log_a1=0;

3) 36^{\frac{1}{2}}=6 поэтому \log_{36}6=\frac{1}{2};

4) {(\frac{1}{5})}^{-2}=25 поэтому \log_{(\frac{1}{5})}25=-2;

5) {(\frac{27}{8})}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3} поэтому \log_{(\frac{27}{8})}{\frac{2}{3}}=-{\frac{1}{3}};

6) (\frac{1}{3})^{4}=\frac{1}{81} поэтому \log_{(\frac{1}{3})}{\frac{1}{81}}=4;

7) (\frac{1}{5})^{-2}=25 поэтому \log_{(\frac{1}{5})}{81}=-2;

8) (\frac{1}{49})^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{7} поэтому \log_{(\frac{1}{49})}{\frac{1}{7}}={\frac{1}{2}};

9) (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3} поэтому \log_{(\frac{27}{8})}{\frac{2}{3}}={-\frac{1}{3}}.

Здесь подобраны такие числа, логарифмы которых являются рациональными числами. Логарифмы же большинства действительных чисел по любому данному основанию a (a>0, a\ne1) есть числа иррациональные.