Теоретический материал: Логарифмическая функция, ее свойства и график

Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.4. Логарифмическая функция, ее свойства и график

Для каждого положительного числа $x$ существует определенное значение логарифма его: $\log _ax$ т. е. $\log _a x$ при заданном $a$ ( $a>0$ , $a\neq1$ ) есть функция от $x$ , определенная на множестве всех положительных чисел.

Определение

Функция $y=\log_ax$ , ставящая в соответствие каждому положительному числу $x$ его логарифм по данному положительному и отличному от единицы основанию $a$ , называется логарифмической функцией.

Уравнение (формулу) логарифмической функции $y =\log_ax$ можно записать в таком виде: $a^y=x$ . Сравнивая последнее уравнение, выражающее логарифмическую функцию, с уравнением показательной функции $a^x=y$ видим, что это взаимно обратные функции.
Отсюда следует, что свойства логарифмической функции выводятся из свойств показательной функции и что график логарифмической функции с основанием $a$ симметричен графику показательной функции с тем же основанием относительно биссектрис первого и третьего квадрантов.

FGDH

Свойство 1

Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел, а область изменения этой функции — множество всех действительных чисел, т. е. $x>0$ и $-\infty$ . Это хорошо видно на графиках.

Свойство 2

При $x=1$ любая логарифмическая функция принимает значение, равное нулю, т. е. $\log_a1=0$ . Все графики $y=\log_ax$ проходят через точку $(1;0)$ . Остальные свойства различаются для случаев $a>1$ и $0$ .

Свойство 3

Если $a>1$ , то функция $\log_ax$ возрастающая (например, $\log _2x$ и $\log_{10} x$ ), т. е. большему положительному числу $x$ соответствует больший логарифм (меньшему числу — меньший логарифм) и обратно: большему логарифму соответствует большее число (меньшему логарифму — меньшее число). При этом если $x\rightarrow0$ , то $\log _ax\rightarrow-\infty$ , т. е. неограниченно убывает. Если $0$ , то функция $\log _ax$ убывающая (например, $\log _{0,5}x$ и $\log _{0,1}x$ ), т. е. большему положительному числу соответствует меньший логарифм и обратно: меньшему логарифму соответствует большее число. Если $x\rightarrow0$ , то $\log _ax\rightarrow+\infty$ .

Следствие

Если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от единицы, равны, то равны и сами эти числа, т. е. если $\log _a{x_1}=\log _a{x_2}$ и $a>0$ , $a \neq 1$ , то $x_1=x_2$ .

Свойство 4

Если $a>1$ , то при $x>1$ функция $\log_ax>0$ , а при $0$ функция $\log_ax$ . Если $0$ , то, наоборот, при $x>1$ функция $\log_ax$ , а при $0$ функция $\log_ax>0$ . Каждое из этих свойств можно вывести из соответствующего свойства показательной функции, если учесть, что функция $y = \log_ax$ изменяется так, как изменялся аргумент $x$ функции $y=a^x$ , а аргумент $x$ функции $\log_ax$ изменяется так, как изменялась показательная функция $y=a^x$ .