Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.5. Логарифм произведения, частного, степени и корня

Теорема 1

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей.

Доказательство.

Пусть x_1>0, x_2>0 и \log_a x_1 = y_1, \log_a x_2 =y_2. Тогда x_1 = a^{y_1} и x_2 = a^{y_2}, а их произведение: x_1\cdot x_2 =a^{y_1}\cdot a^{y_2} =a^{y_1+y_2}.
Показатель степени y_1+y_2 является логарифмом числа x_1\cdot x_2 по основанию a

y_1+y_2=\log_a (x_1\cdot x_2).

Но y_1=\log_a x_1 и y_2 =\log_a x_2, поэтому

\log_a (x_1\cdot x_2) =\log_a x_1+\log_a x_2 \boxtimes.

Теорема 1 верна для любого конечного числа положительных сомножителей.

Теорема 2

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности между логарифмом делимого и логарифмом делителя:

\log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_a x_1-\log_a x_2.

Следствие.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию противоположны (различаются только знаками):\log_a \frac{1}{b}=-\log_a b.

2

Теорема 3

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания:\log_a x^m=m\log_a x.

3

Показатель степени m в Теореме 3 есть любое действительное число, так как число принадлежит области определения показательной функции.

Теорема 4

Логарифм арифметического значения корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

\log_a\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\log_a x.

4

В теореме 4 число n есть натуральное число (согласно определению корня степени n).