Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.6. Логарифмирование выражений

Определение

Прологарифмировать выражение A, представляющее произведение, частное, степень или корень некоторых положительных чисел или выражений, значит найти, как выражается логарифм A через логарифмы компонентов.

Логарифмирование выражений осуществляется в соответствии с теоремами 1—4 предыдущего пункта.

Пример 1

Дано:  A = 4b. Найти \, \log_a{A}.

Решение:
\, \log_a{A}=\, \log_a{4b}=\, \log_a{4}+\, \log_a{b}.

К примеру 1

Сумма и разность (алгебраическая сумма) не логарифмируются, т. е. их логарифмы невозможно выразить через логарифмы компонентов.

Пример 2

Дано A=\frac{c}{3}. Найти \, \log_a{A}.

Решение:
\, \log_a{A}=\, \log_a{\frac{c}{3}}=\, \log_a{c}-\, \log_a{3}.

К примеру 2

Пример 3

Дано: A=m^3. Найти \, \log_a{A}.

Решение:
\, \log_a{A}=\, \log_a{m^3}=3\, \log_a{m}.

к примеру 3

Пример 4

Дано:A=\sqrt{d}. Найти \, \log_a{A}.

Решение:
\, \log_a{A}=\, \log_a{\sqrt{d}}=0,5\, \log_a{d}.

к примеру 4

Пример 5

Дано:  A=b^3c^2d^{-\frac{2}{3}}. Найти \, \log_a{A}.

Решение:
\, \log_a{A}=\, \log_ab^3c^2d^{-\frac{2}{3}}=\, \log_ab^3+\, \log_ac^2+\, \log_ad^{-\frac{2}{3}}=
3\, \log_a{b}+2\, \log_a{c}-\frac{2}{3}\, \log_a{d}.

к примеру 5

Пример 6

Дано: A=\frac{2m^3n^{-1}\sqrt[8]{(m+n)^5}}{(m-n)^2}. Найти \, \log_a{A}.

Решение:
\log_a{A}=\log_a( 2 m^3 n^{-1} \sqrt[8]{(m+n)^5}) - \log_a(m-n)^2=
= \log_a 2+ \log_a m^3+ \log_a n^{-1}+ \log_a \sqrt[8]{(m+n)^5}-2 \log_a (m-n)=
 \log_a{2}+3 \log_a{m}-\log_a{n}+\frac{5}{8} \log_a(m+n)-2 \log_a{(m-n)}.

Пример 7

Найти A, если \log _aA=2\log _ab.

Решение:
\log _aA=\log _ab^2,  A=b^2.

Ответ :

A=b^2.

Пример 8

Найти A, если  \log _aA=\sqrt[3]{2}\log _ac.

Решение :
\log _aA=\log _ac^{\sqrt[3]{2}} , A=c^{\sqrt[3]{2}}.

Ответ :

A=c^{\sqrt[3]{2}}.

Пример 9

Найти A, если \log _aA=-\frac{5}{9}\log _ad .

Решение:
\log _aA=\log _ad^{-\frac{5}{9}}\text{ }, A=d^{-\frac{5}{9}}.

Ответ:

A=d^{-\frac{5}{9}}.

Пример 10

Найти A, если \log_aA=\frac{2}{3}\log _ab-\frac{1}{5}\log _ac+\frac{3}{8}\log _a\left(b^2+c^2\right) .

Решение:
\log _aA=\log _ab^{\frac{2}{3}}-\log _ac^{\frac{1}{5}}+\log _a\left(b^2+c^2\right)^{\frac{3}{8}}= .
=\log _a\frac{b^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{1}{5}}}+\log _a\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}=\log _a\frac{\sqrt[3]{b^2}\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}}{\sqrt[5]{c}}, A=\frac{\sqrt[3]{b^2}\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}}{\sqrt[5]{c}}.

Ответ :

A=\frac{\sqrt[3]{b^2}\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}}{\sqrt[5]{c}}.