Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.6. Логарифмирование выражений

Определение

Прологарифмировать выражение $A$, представляющее произведение, частное, степень или корень некоторых положительных чисел или выражений, значит найти, как выражается логарифм $A$ через логарифмы компонентов.

Логарифмирование выражений осуществляется в соответствии с теоремами 1—4 предыдущего пункта.

Пример 1

Дано: $A = 4b$. Найти $\, \log_a{A}$.

Решение:
$\, \log_a{A}=\, \log_a{4b}=\, \log_a{4}+\, \log_a{b}$.

К примеру 1

Сумма и разность (алгебраическая сумма) не логарифмируются, т. е. их логарифмы невозможно выразить через логарифмы компонентов.

Пример 2

Дано $A=\frac{c}{3}$. Найти $\, \log_a{A}$.

Решение:
$\, \log_a{A}=\, \log_a{\frac{c}{3}}=\, \log_a{c}-\, \log_a{3}$.

К примеру 2

Пример 3

Дано: $A=m^3$. Найти $\, \log_a{A}$.

Решение:
$\, \log_a{A}=\, \log_a{m^3}=3\, \log_a{m}$.

к примеру 3

Пример 4

Дано:$A=\sqrt{d}$. Найти $\, \log_a{A}$.

Решение:
$\, \log_a{A}=\, \log_a{\sqrt{d}}=0,5\, \log_a{d}$.

к примеру 4

Пример 5

Дано: $A=b^3c^2d^{-\frac{2}{3}}$. Найти $\, \log_a{A}$.

Решение:
$\, \log_a{A}=\, \log_ab^3c^2d^{-\frac{2}{3}}=\, \log_ab^3+\, \log_ac^2+\, \log_ad^{-\frac{2}{3}}=$
$3\, \log_a{b}+2\, \log_a{c}-\frac{2}{3}\, \log_a{d}$.

к примеру 5

Пример 6

Дано: $A=\frac{2m^3n^{-1}\sqrt[8]{(m+n)^5}}{(m-n)^2}$. Найти $\, \log_a{A}$.

Решение:
$\log_a{A}=\log_a( 2 m^3 n^{-1} \sqrt[8]{(m+n)^5}) - \log_a(m-n)^2=$
$= \log_a 2+ \log_a m^3+ \log_a n^{-1}+ \log_a \sqrt[8]{(m+n)^5}-2 \log_a (m-n)=$
$\log_a{2}+3 \log_a{m}-\log_a{n}+\frac{5}{8} \log_a(m+n)-2 \log_a{(m-n)}$.

Пример 7

Найти $A$, если $\log _aA=2\log _ab$.

Решение:
$\log _aA=\log _ab^2$, $A=b^2$.

Ответ :

$A=b^2.$

Пример 8

Найти $A$, если $\log _aA=\sqrt[3]{2}\log _ac$.

Решение :
$\log _aA=\log _ac^{\sqrt[3]{2}} ,$ $A=c^{\sqrt[3]{2}}.$

Ответ :

$A=c^{\sqrt[3]{2}}.$

Пример 9

Найти $A$, если $\log _aA=-\frac{5}{9}\log _ad$ .

Решение:
$\log _aA=\log _ad^{-\frac{5}{9}}\text{ },$ $A=d^{-\frac{5}{9}}.$

Ответ:

$A=d^{-\frac{5}{9}}.$

Пример 10

Найти $A$, если $\log_aA=\frac{2}{3}\log _ab-\frac{1}{5}\log _ac+\frac{3}{8}\log _a\left(b^2+c^2\right)$ .

Решение:
$\log _aA=\log _ab^{\frac{2}{3}}-\log _ac^{\frac{1}{5}}+\log _a\left(b^2+c^2\right)^{\frac{3}{8}}=$ .
$=\log _a\frac{b^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{1}{5}}}+\log _a\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}=\log _a\frac{\sqrt[3]{b^2}\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}}{\sqrt[5]{c}}$, $A=\frac{\sqrt[3]{b^2}\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}}{\sqrt[5]{c}}$.

Ответ :

$A=\frac{\sqrt[3]{b^2}\sqrt[8]{\left(b^2+c^2\right)^3}}{\sqrt[5]{c}}$.