Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.7. Решение показательных уравнений

Пример 1

Решить уравнение $5^{3x}=25.$

Решение:
Это уравнение типа $a^x=b$ и его можно решить логарифмированием (по основанию $5$), однако здесь обе части уравнения представляют степени одного и того же числа $5$: $5^{3 x}=5^2$, а из равенства степеней с положительным и отличным от $1$ основанием следует равенство показателей: $3 x=2$. Отсюда $x=\frac{2}{3}$.

Ответ:

$x=\frac{2}{3}$.

Прием решения показательного уравнения, примененный в примере 1, широко распространен, и к нему нередко можно свести решение более сложного уравнения. При этом обеспечивается равносильность уравнений .

Пример 2

Решить уравнение $\left(\frac{3}{4}\right)^{x-1} \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{9}{16}$.

Решение:
Присмотревшись к условию, замечаем, что можно получить степени с одним и тем же основанием $(\frac{3}{4})$, так как $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{x}}\\$ и $\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2\\$. Следовательно,
$\left(\frac{3}{4}\right)^{x-1} \left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{x}}=\left(\frac{3}{4}\right)^2,$ $\left(\frac{3}{4}\right)^{x-1-\frac{1}{x}}=\left(\frac{3}{4}\right)^2,$
т. е. получили равенство степеней (см. пример 1), из которого следует равенство показателей $(x\neq0)$ :
$x-1-\frac{1}{x},$ $x^{2}-x-1=2x,$ $x^{2}-3x-1=0.$
Находим корни квадратного уравнения, равносильного исходному уравнению.

Ответ:

$x_1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{13};$ $x_2=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{13}$.

Пример 3

Решить уравнение $(x-1)^{\sqrt{x+1}}=(x-1)^{\frac{x+1}{2}}$.

Решение:
Это показательное уравнение напоминает уравнение в примере 1, однако оно существенно отличается от уравнения типа $a^{x_1}=a^{x_2}$, где постоянное число $a>0$ и $a\neq1$. В данном же уравнении основание $(x - 1)$ степени содержит неизвестное, и на ОДЗ $x$ накладывается ограничение: $x-1>0$, т. е. $x>1$ (второе ограничение $x-1\neq1$ в уравнениях с неизвестным в основании и показателем степени обычно не накладывают, чтобы сохранить корень: $x-1=1$ или $x=2$).
Так как в уравнении содержится арифметический корень $\sqrt{x+1}$, то $x+1\geq0$ или $x\geq-1$.
Итак, ОДЗ неизвестного $x$ данного уравнения: $x>1$ (решение системы неравенств $x-1>0$ и $x+1\geq0$). При условии $x>1$ следующие уравнения равносильны исходному:
$\sqrt{x+1} \lg{(x-1)}=\frac{x+1}{2} \lg{(x-1)}$,
$(\sqrt{x+1}-\frac{x+1}{2}) \lg{(x-1)}=0$.
Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений в области $x>1$:
$\sqrt{x+1}-\frac{x+1}{2}$ и $\lg{(x-1)}=0$
или
$\sqrt{x+1}-\frac{x+1}{2}=0$ и $x-1=1$.
Решив иррациональное уравнение, получим $x_1=3$ и $x_2=-1$ . Второй корень посторонний, так как не удовлетворяет условию $x>1$. Корень $x=2$ уравнения $x-1=1$ входит в ОДЗ, как и корень $x=3$.

Ответ:

$x_1=2$; $x_2=3$.