Алгебра

17. Показательная и логарифмическая функции

17.8. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Учитель:

Какие уравнения мы уже научились решать?

Ученик:

Линейные, квадратные, иррациональные, тригонометрические, показательные ...

Учитель:

А сейчас научимся еще решать и логарифмические уравнения.

Определение

Уравнение, содержащее логарифмическую функцию от неизвестной величины, называется логарифмическим уравнением. Иначе: уравнение называется логарифмическим, если оно содержит неизвестное под знаком логарифма.

Ученик:

А какое самое простое логарифмическое уравнение?

Определение

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение
\log_ax=b, где \ a и \ b — данные числа, \ x — неизвестная величина.

Ученик:

А сколько корней имеет данное уравнение?

Учитель:

При a\gt 0 и a\neq 1 уравнение имеет действительный корень, причем единственный: x=a^b.

Ученик:

Возможно ли графически решить данное уравнение?

Учитель:

На этом рисунке мы можем увидеть, как значение x зависит от чисел a и b. Изменить значения a и b можно при помощи движков.

Loga x=b

Наиболее распространенным приемом решения более сложных логарифмических уравнений является приведение данного уравнения к алгебраическому или простейшему логарифмическому.

Пример 1

Решить уравнение \lg (2 x^2+21 x +9) - \lg(2 x+1)=1.

Решение:

При 2 x+1>0 и 2 x^2+ 21x+9>0 разность логарифмов преобразуем в логарифм частного, а 1, стоящую в правой части, представим как логарифм числа по основанию 10 (т.к. в левой части имеем десятичные логарифмы):

\lg \left( \frac{2x^2+21x +9}{2 x+1} \right)=\lg 10.

Из равенства логарифмов двух положительных чисел (по одинаковому положительному и отличному от единицы основанию) следует и равенство чисел. Отметим, что этим свойством часто приходится пользоваться при решении логарифмических уравнений.

\frac{2x^2+21x+9}{2x+1}=10; 2x^2+21x+9=20 x+10; 2x^2+x-1=0.

Вычислим корни квадратного уравнения: x=-1 ; x=0,5.

Проверим, получатся ли под знаками логарифмов положительные числа. Если подставим x=-1, то \lg(2x+1)=\lg(-2+1)=\lg(-1) , а такого логарифма не существует. Подставлять -1 в выражение под знаком другого логарифма не нужно, ибо уже ясно, что -1 является посторонним корнем. Легко убедиться подстановкой, что при x=0,5 под знаками логарифмов будут положительные числа.

y=lnx

Ответ:

x=0,5 .

Пример 2

Решить уравнение \frac{\lg(x+1)}{\lg x}=-1.

Решение:

Здесь не трудно установить область определения уравнения (ОДЗ неизвестного). Прежде всего \lg x\neq 0, т.е. x\neq 1 \, (\lg1=0). Кроме того, на основаниии определения логарифмической функции получим два неравенства: x+1>0 и x>0. Решение системы дает ОДЗ x:

\{\ x+1>0,\\ \ x>0,\\ \ x\neq 1; \{\ x>-1,\\ \ x>0,\\ \ x\neq 1; \{\ x>0,\\ \ x\neq 1.</p> <p class="ExampleSolution">Сначала освободимся в данном уравнении от знаменателя, умножив обе его части на \lg x\neq 0:</p> <p class="ExampleSolution">\lg(x+1)=-\lg x, \lg(x+1)=\lg {(x^{-1})}.

Получили равные логарифмы, откуда

x+1={x^{-1}}, \, x+1=\frac{1}{x}, \, x^2+x-1=0 .

Найдем корни вспомогательного квадратного уравнения, которое в области x>0 и x\neq 1 равносильно данному. {x_{1,2}}=-0,5\pm0,5{\sqrt{5}}. Корень x_2=-0,5-0,5\sqrt{5} отрицательный и не принадлежит области определения уравнения (\ x>0 и \ x\neq 1). Корень \ {x_1}=0,5{\sqrt{5}}-0,5>0 и \ {x_1}\neq 1.

15_2

Ответ:

x=0,5 (\sqrt{5}-1).

Пример 3

Решить уравнение \log _3[\log^2_2 (x-4)]=0.

Решение:

Под знаком логарифма по основанию 3 стоит число \log^2_2 (x-4). По определению логарифма это число должно равняться 3^0, т. е. 1: \log^2_2 (x-4) = 1 или \left[\log _2 (x-4)\right]^2=1.
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, берем оба значения корня: \log _2 (x-4)=\pm 1.
Из уравнения \log _2 (x-4) =1 получаем x-4 = 2, откуда x_1=6.
Из уравнения \log _2 (x-4) =-1 находим x-4=2^{-1}, x-4=\frac{1}{2} , т. е. x_2=4,5.

rs


П р о в е р к а:

1) \log _3[\log^2_2(6-4)]=\log _3[\log^2_2 { }2]=\log _3\left(\log _2\text{ }2\right)^2=\log _3 1=0,0=0.
2) \log _3[\log^2_2(4,5-4)]=\log _3[\log^2_2{ }0,5]=
\log _3\left(\log _2\text{ }0,5\right)^2=\log _3 (-1)^2=\log_3 1=0, 0=0.

Ответ:

x_1=6; x_2=4,5.

Пример 4

Решить уравнение \lg ^2 (10x)+\lg x =19.


Решение:

В уравнении имеется \lg x. Преобразуем \lg ^{2 }(10x), в котором также появится \lg x:
\lg ^2 (10x) = (\lg (10x))^2=(\lg 10+\lg x)^2= (1+\lg x)^2.
Подставим в уравнение:
1 + 2 \lg x+\lg ^2x+\lg x=19, \lg ^2x+3 \lg x-18 = 0.

Решаем квадратное уравнение относительно неизвестного \lg x:
\lg x=\frac{-3\pm \sqrt{9+4\cdot 18}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{81}}{2}=\frac{-3\pm 9}{2}, \lg x=3, x_1=10^3=1000; \lg x=-6, x_2=10^{-6}=\frac{1}{1000000}.

П р о в е р к а:

ОДЗ неизвестного определяется системой неравенств: \left \{ \begin{array}{c} 10x >0,\\ x > 0 \end{array}\right., откуда x>0. Оба корня принадлежат области определения уравнения, т. е. x_1>0 и x_2>0, и поэтому не посторонние.

Ответ:

x_1=10^3, x_2=10^{-6}.

Пример 5

Решить уравнение \log _x \sqrt{5}+\log _x 5x-2,25=\log ^2_x \sqrt{5}.

Решение:

Отдельно прологарифмируем корни и произведение:
\log _x \sqrt{5}=\frac{1}{2}\log _x 5, \log ^2_x \sqrt{5}=\left(\frac{1}{2}\log _x 5\right)^2=\frac{1}{4}\log ^2_x 5,
\log _x 5x = \log _x 5 +\log _x x=\log _x 5+1.
После подстановки в уравнение получим:
\frac{1}{2}\log _x 5+\log _x 5+1-2,25=\frac{1}{4}\log ^2_x 5,
\log ^2_x 5 - 6 \log _x 5+5=0.
Если за неизвестное принять \log _x 5, то это — квадратное уравнение и его корни 1 и 5 (можно найти, например, по теореме Виета).
Итак, имеем совокупность \left [ \begin{array}{c}log _x 5=1,\\ \log _x 5=5. \end{array}\right.
Из первого уравнения получаем x_1= 5, из второго x^5=5, откуда x_2=\sqrt[5]{5}. В исходном уравнении x — основание логарифма, и согласно определению логарифма x > 0 и x\neq1. Оба корня удовлетворяют этим условиям.

rs

Ответ:

x_1= 5; x_2=\sqrt[5]{5}.

Пример 6

Решить уравнение (x^{\lg x-1})=100.

Решение:

Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части:

\lg(x^{\lg x - 1})=\lg 100, (\lg x-1)\lg x=2,

\lg^2 x-\lg x-2=0.

\left [ \begin{array}{c}\lg x=-1 ,\\ \lg x=2 \end{array} \right. откуда x_1=10^{-1}=0,1 и x_2=10^2=100.

Легко убедиться, что корни не посторонние.

Ответ:

x_1=0,1; x_2=100.

17_1

Пример 7

Решить систему уравнений \left \{\begin{array}{c} xy=40, \\ x^{\lg y}=4. \end{array} \right.

Решение:

В данной системе неизвестными являются x и y. Так как \lg y здесь нельзя выразить через x и y, то \lg y является как бы третьим неизвестным, и это затрудняет решение системы. Преобразуем уравнения так, чтобы там были только \lg x и \lg y. Это оказывается возможным при помощи логарифмирования обоих уравнений системы по основанию 10.

\left\{\begin{array}{c} \lg (xy)=\lg 40, \\ \lg x^{\lg y}=\lg 4; \end{array} \right. \left \{\begin{array}{c} \lg x + \lg y=\lg10 +\lg4, \\ \lg y \lg x=\lg4. \end{array} \right.

Получили вспомогательную систему двух уравнений с двумя неизвестными \lg x и \lg y:

\left \{\begin{array}{c} \lg x +\lg y=1+\lg 4, \\ \lg x \lg y=\lg 4, \end{array} \right.

которую можно решить путем составления вспомогательного квадратного уравнения, пользуясь тем, что нам дано, чему равны сумма неизвестных (1+\lg 4) и их произведение (\lg 4): (z^2)-(1+\lg 4)z+\lg 4=0, корни которого z_1и z_2 будут являться значениями неизвестных \lg x и \lg y нашей вспомогательной системы уравнений.

z=\frac{1+\lg 4\pm \sqrt{(1+\lg 4)^2-4\lg 4}}{2}=\frac{1+\lg 4\pm \sqrt{1+2\lg 4+\lg ^2 4-4\lg 4}}{2}= \frac{1+\lg 4\pm \sqrt{1-2\lg 4+\lg ^2 4}}{2}= \frac{1+\lg 4\pm \sqrt{(1-\lg 4)^2}}{2}=\frac{1+\lg 4\pm (1-\lg 4)}{2};

z_1=1; z_2=lg 4.

Получаем два решения:
1) \lg x=1, \lg y=lg 4, откуда x_1=10, y_1=4;
2) \lg x=lg 4, \lg y =1, откуда x_2=4, y_2=10.

Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что оба решения не посторонние.

Ответ:

x_1=10, y_1=4; x_2=4,y_2=10.

Пример 8

Решить логарифмическое неравенство \frac{\lg^2{x}+2\lg{x}-6}{\lg{x}}.

Решение:

Функция \lg{x} может принимать любые действительные значения, поэтому нельзя умножить обе части неравенства на \lg{x}.

Преобразуем данное неравенство в такое равносильное ему неравенство, у которого правая часть есть нуль, а левая часть представлена дробью. Для краткости обозначим \lg{x} через {y}:

\frac{y^2+2y-6}{y}, \frac{y^2+2y-6}{y}-1, \frac{y^2+y-6}{y}.

Последнее неравенство в свою очередь равносильно совокупности двух систем неравенств:

\left\{\begin{array}{c}y^2+y-6>0, \\y (I)

\left\{\begin{array}{c}y^2+y-60.\end{array}\right. (II)

Решаем систему (I).

Для решения ее квадратного неравенства находим:

D=1-4\cdot (-6)=25;
y_1=2 ;
y_2=-3.

Следовательно, решение этого квадратного неравенства: y2.

Если учесть еще, что y (решение второго неравенства системы (I)), то получим решение системы (I): y (можно проиграть изображение решения неравенств на рисунке).
ссылка1

Решаем систему (II). Решение ее квадратного неравенства: -3.

Так как здесь y>0, то получим решение системы (II): 0.
Ссылка2

Итак, приходим к решению совокупности двух простейших логарифмических неравенств: \left [ \begin{array}{c}0, из которых находим x(x>0). Первое из этих неравенств перепишем так: \lg{1}, откуда получаем его решение: 1.

Так как -3=\lg{0,001}, то \lg{x}, откуда находим решение второго неравенства: 0 (использовали то, что при основании, большем 1, большему логарифму соответствует большее число). Неизвестное x в первоначальном неравенстве находится под знаком \lg , поэтому ОДЗ {x} будет: x>0 и x\neq 1 ( \lg{x}\neq 0).

Решения как первого, так и второго простейшего неравенства полностью находятся в ОДЗ {x}. Решение каждого из совокупности двух полученных простейших логарифмических неравенств является самостоятельным решением исходного логарифмического неравенства.

Ответ:

0; 1.