ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 7. Квадратные уравнения

7.1. Квадратный трехчлен

Учитель

Позволь познакомить тебя с "главной" функцией в школьном курсе алгебры — квадратичной функцией. Она постоянно появляется в разных разделах программы. Поэтому постарайся с ней подружиться.

Ученик

Я заинтригован.

Определение

Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида $y=ax^{\text{2}}+ bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — действительные числа, причем $a \neq 0$

Пример

Квадратичными функциями являются:
$x^{\text{2}}+ 5x-7$; ${\text{ }}y{\text{ = }}-3x^{\text{2}}+ 8x$; ${\text{ }}y{\text{ = }}9x^{\text{2}}+1$

Определение

Выражение $ax^{\text{2}}+ bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — действительные числа и $a \neq 0$ называют квадратным трехчленом.

Учитель

Надеюсь, пока все понятно. А теперь попытаемся овладеть одним полезным приемом, а именно, выделение полного квадрата, то есть выделение квадрата двучлена.

Ученик

Звучит устрашающе, но я попытаюсь разобраться.

Учитель

На самом деле тут нечего бояться. У нас есть квадратный трехчлен $ax^{\text{2}}+ bx + c$. И мы делаем равносильные преобразования. Еще нужно вспомнить формулы сокращенного умножения(квадрат суммы и квадрат разности). Вот и все.

Выделение полного квадрата
$ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=$ $a\left[{x^2+2\frac{b}{{2a}}x+\left({\frac{b}{{2a}}}\right)^2-\left( {\frac{b}{{2a}}}\right)^2+\frac{c}{a}}\right]=$ $a\left[{\left({x+\frac{b}{{2a}}}\right)^2 - \frac{{b^2-4ac}}{{4a^2}}}\right]=$ $a\left[{\left({x+\frac{b}{{2a}}}\right)^2-\frac{D}{{4a^2}}}\right]$

Определение

Число $D{\text{ = }}b^{\text{2}}- 4ac$ называется дискриминантом квадратного трехчлена.

Пример

a) $3x^2-9x +11 = 3\left[ {x^2 -3x + \frac{11} {3}} \right] =$

$3\left[ {x^2 -2\frac{3} {{2}}x + \left( {\frac{3} {{2}}} \right)^2 - \left( {\frac{3} {{2}}} \right)^2 + \frac{11} {3}} \right] =$ $3\left[ {\left( {x- \frac{3} {{2}}} \right)^2+ \frac{17} {12}} \right]$;

b) $-z^2-4z+17=-\left[{z^2+4z-17}\right]=$

$-\left[{z^2+{2\cdot 2}z+ \left({2}\right)^2-\left({2}\right)^2-17}\right]=-\left[{\left({z + 2}\right)^2-21}\right]$.

Пример

Найти дискриминант квадратного трехчлена:
a) $x^2+2x-9$;

$D{\text{ = }}2^{\text{2}}- {4 \cdot 1\cdot (-9)}=40$;

b) $-4x^2-3x$;

$D{\text{ = }}(-3)^{\text{2}}- {4 \cdot (-4)\cdot 0}=9$;

c) $5x^2+3$;

$D{\text{ = }}{-4 \cdot 5\cdot 3}=-60$.