ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 10. Определение тригонометрических функций

10.1. Градусное и радианное измерение углов

Понятие угла и его градусного измерения  известно из курса планиметрии (см. ч. II). Изучение тригонометрических функций требует расширения понятия об угле. Возьмём круг радиуса $r$ и проведём в нём два взаимно перпендикулярных диаметра: горизонтальный и вертикальный (см. рис. ниже), причём по первому из них направим ось абсцисс, а по второму — ось ординат. Отсчёт углов будем вести в обоих направлениях от положительной полуоси абсцисс (от неподвижного радиуса $OA$).

Определение

Если подвижный радиус $OB$ будет вращаться вокруг центра $O$ против часовой стрелки, то он будет образовывать с $Ox$ положительные углы $B_1OA$, $B_2OA$, $B_3OA$ и т. д.

Определение

Если углы будут получаться вращением радиуса $OC$ от положения $OA$ по ходу стрелки часов, то такие углы будут называться отрицательными ($C_1OA$, $C_2OA$ и т. д.).

Подвижный радиус, сделав полный оборот, может продолжать движение, совершая второй, третий и т. д. обороты и образуя всё большие и большие по абсолютной величине положительные и отрицательные углы.

Определение

Круг, разделённый координатными осями на четыре квадранта, называют тригонометрическим кругом. Если его радиус равен $1$, то круг называется единичным.

Определение

Центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности, называется радианом, точнее — угловым радианом, а эта дуга — дуговым радианом.

Длина окружности равна $2\pi r$, где $r$ — длина радиуса, поэтому окружность любого радиуса содержит одно и то же число дуговых радиан, а именно ${\frac{2\pi\text{\textit{$r$}}}{\text{\textit{$r$}}}}=2\pi$. Следовательно, $2\pi$ угловых радиан содержит окружность любого радиуса, значит, величина углового радиана не изменяется при изменении длины радиуса окружности:

$1$ радиан $=\frac{360^o}{2\pi}\approx 57^o$.

Если угол содержит $\alpha$ радиан, то его градусное измерение ($a$) можно найти по формуле:

$a=\frac{180^o}{\pi }\alpha.$

Решив это уравнение относительно $\alpha$, получаем формулу для нахождения радианной меры ($\alpha$) угла по известной его градусной мере ($a$):

$\alpha=\frac{\pi }{180}a.$

При числе, выражающем величину угла в радианах, единицу измерения "радиан" не пишут (подразумевают). Существуют таблицы для перевода градусной меры угла (дуги) в радианную и обратно, однако следующие значения надо помнить:${180^o}\approx 3,1416$ рад,