ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.2. Применение основных тригонометрических формул.

Они наряду с другими тригонометрическими формулами широко применяются при тождественных преобразованиях тригонометрических выражений и доказательстве различных тригонометрических тождеств. Здесь рассмотрим, как по известному значению какой-нибудь одной тригонометрической функции найти значения других функций.

Пример 1.

Дано: $\cos\varphi =0.6\\$ .
Найти: $\sin \varphi\\$, $\text{tg}\varphi\\$, $\text{ctg}\varphi\\$.

Решение:

$\sin ^2\varphi =1-\cos ^2\varphi =1-0.36=0.64\\$.
$\sin\varphi =\pm 0.8\\$.
$\text{tg}\varphi =\pm0.8 : 0.6=\pm1\frac{1}{3}\\$.
$\text{ctg}\varphi =1: \text{tg}\varphi =1: (\pm1\frac{1}{3}).=\pm0.75\\$.

Пример 2.

Дано: $\text{tg}\alpha =-0.75\\$ и $\frac{3}{2}\pi$.
Найти: $\sin\alpha\\$, $\cos\alpha\\$, $\text{ctg}\alpha\\$.

Решение:
$\text{ctg}\alpha =1/(-0.75)=-1\frac{1}{3}\\$.
$\sin\alpha =1\left/\left(-1\frac{2}{3}\right)\right.=-0.6\\$.
$\cos\alpha =\frac{\sin\alpha }{\text{tg}\alpha }=-0.6/(-0.75)=0.8\\$.

Аналогично решаются и другие примеры такого типа. В первом примере не было указано, в какой четверти за­канчивается угол $\varphi\\$. По условию $\cos\varphi >0$ и $\varphi$ находится в $I$ или $IV$ четверти, поэтому для $\sin \varphi$, $\text{tg}\varphi$ и $\text{ctg}\varphi$ пришлось взять оба значения (положительное и отрицательное).