ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.4. Формулы приведения

Определение

Формулами привидения называются тождества, связывающие тригонометрические функции аргументов
$\frac{\pi }{2}\overset{+}{-}\alpha$, $\pi\overset{+}{-}\alpha$, $\frac{3}{2}\pi\overset{+}{-}\alpha$

с функциями аргумента $\alpha$.

Эти формулы позволяют при­водить тригонометрические функции любого аргумента к равной по значению тригонометрической функции острого угла. Все формулы приведения можно разбить на 3 группы.

Первая группа — для $\frac{\pi }{2}\overset{+}{-}\alpha$ или (или $90^{\circ}\overset{+}{-}\alpha$):
$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$; $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=\cos\alpha$;
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\sin\alpha$; $\cos\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin\alpha$;
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\text{ctg}\alpha$; $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\text{ctg} \alpha$;
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\text{tg}\alpha$; $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\text{tg} \alpha$.

Вторая группа — для $\pi \overset{+}{-}\alpha$ (или $180^{\circ}\overset{+}{-}\alpha$):
$\sin(\pi -\alpha)=\sin\alpha$; $\sin(\pi +\alpha )=-\sin\alpha$;
$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$; $\cos (\pi +\alpha )=-\cos\alpha$;
$\text{tg}(\pi -\alpha )=-\text{tg} \alpha$; $\text{tg}(\pi +\alpha )=\text{tg} \alpha$;
$\text{ctg}(\pi -\alpha)=-\text{ctg} \alpha$; $\text{ctg}(\pi +\alpha )=\text{ctg}\text{}\alpha$.

Третья группа — для $\frac{3}{2}\pi\overset{+}{-}\alpha$ (или $270^{\circ}\overset{+}{-}\alpha$):
$\sin \left(\frac{3}{2}\pi -\alpha \right)=-\cos\alpha$; $\sin\left(\frac{3}{2}\pi +\alpha \right)=-\cos\alpha$;
$\cos\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha\right)=-\sin\alpha$; $\cos\left(\frac{3}{2}\pi +\alpha\right)=\sin\alpha$;
$\text{tg}\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha\right)=\text{ctg}\alpha$; $\text{tg}\left(\frac{3}{2}\pi +\alpha\right)=-\text{ctg}\alpha$;
$\text{ctg}\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha\right)=\text{tg}\alpha$; $\text{ctg}\left(\frac{3}{2}\pi +\alpha\right)=-\text{tg}\alpha$.

Каждую из этих формул можно написать, если знать следующих два правила.

Правило 1 для определения названия функции:

если $\alpha$ откладывается от горизонтального диаметра ($\pi\overset{+}{-}\alpha$, вторая группа формул), то наименование приво­димой функции (т.е. функции аргумента $\pi\overset{+}{-}\alpha$) не меняется;

если же $\alpha$ откладывается от вертикального диаметра ($\frac {\pi}{2}\overset{+}{-}\alpha$, $\frac {3\pi}{2}\overset{+}{-}\alpha$; первая и третья группы), то наименование приводимой функции заменяется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Правило 2 для определения знака функции:

какой знак ($+$или $-$) имеет приводимая функция (стоящая в левой части тождества) в данной четверти, такой знак ставится и перед функцией аргумента а в пра­вой части.

Определение

Два угла $\frac{\pi}{2}-\alpha$ и $\alpha$, в сумме составляющие $\frac{\pi}{2}$ (или $90^{\circ}$), называются дополнительными (дополняют друг друга до $\frac{\pi}{2}$).

Первая колонка в первой группе формул выражает свойство таких углов.
Сходные по наименованию функции дополнительных углов равны.

Еще одно важное свойство (формулы второй группы):

синусы углов $\alpha$ и $\pi -\alpha$, составляющих в сумме $\pi$ или $180^{\circ}$, равны, а косинусы их отличаются только знаками.

В формулах приведения $\alpha$ может принимать любые значения из области определения функции, в том числе и $0<\alpha<\frac{\pi }{2}$, т.е. $\alpha$ можно рассматривать как острый угол.
Можно убедиться в правильности формул приведения, например, с помощью единичных тригонометрических кругов. Так, из равенства трех прямоугольных треугольников (см. рисунок ниже) следует что названия формул из второй группы меняться не будут: абсолютные величины одноименных функций, например $\sin\alpha$, $\sin(\pi-\alpha)$ и $\sin(\pi +\alpha)$ будут одинаковые, так как равны меньшие катеты треугольников, и только знаком будет отличаться $\sin (\pi+\alpha)$ от $\sin\alpha$.

11_4a

Отсюда:
$\sin (\pi+\alpha )=-\sin\alpha\\$ и $\sin (\pi -\alpha )=\sin\alpha$;
Из равенства больших катетов и противоположной направленности абсцисс следует:
$\cos (\pi -\alpha)=-\cos\alpha\\$ и $\cos(\pi +\alpha )=-\cos\alpha$;
Для тангенса (и котангенса) можно получить так:
$\text{tg}(\pi -\alpha)=\frac{\sin (\pi -\alpha )}{\cos (\pi -\alpha )}=\frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha}=-\text{tg}\alpha$ и т.д.
Из равенства треугольников на следующем рисунке видно, что абсцисса радиус-вектора $OC$ равна ординате радиус-вектора $OB$,

11_4b

поэтому $\cos\left(\frac{3}{2}\pi +\alpha\right)=\sin\alpha$; а ордината $OC$ отличается от абсциссы $OB$ только знаком, поэтому получим равенство $\sin\left(\frac{3}{2}\pi +\alpha\right)=-\cos\alpha$ и т.д.

Аналогично для аргументов: $\frac{3}{2}\pi -\alpha$ и $\frac{3}{2}\pi \overset{+}{-}\alpha$.