ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.6. Тождественное преобразование тригонометрических выражений

Определение

Выражение, содержащее тригонометрические функции, называют тригонометрическим выражением.

Определения тождественных выражений и тождественного преобразования относятся и к тригонометрическим выражениям. Приведем примеры тождественных преобразований тригонометрических выражений с целью упрощения.

Пример 1.

Упростить выражение $\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha)-\cos(\alpha-\pi)-\text{tg}(\alpha-\pi)+\text{ctg}(\frac{5}{2}\pi-\alpha)$.

Решение:

$\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha)-\cos(\alpha-\pi)-\text{tg}(\alpha-\pi)+\text{ctg}(\frac{5}{2}\pi-\alpha)$ $= \cos \alpha-\cos(\pi-\alpha)+\text{tg}(\pi-\alpha)+\text{ctg}(\frac{\pi}{2}-\alpha)=$ $\cos \alpha+\cos\alpha-\text{tg}\alpha+\text{tg}\alpha=2 \cos \alpha$.

Поясним отдельные этапы решения. При изменении знака аргумента $(\alpha-\pi)$ на противоположный $(\pi-\alpha)$, знак функции косинус не изменилсч, так как функция четная:$-\cos(\alpha-\pi)=-\cos(\pi-\alpha)$.
Знак же тангенса при перемене знака аргумента изменился (тангенс — нечетная функция):
$-\text{tg}(\alpha-\pi)= \text{tg}(\pi-\alpha)$.
В аргументе котангенса выделили и исключили периоды:
$\text{ctg}(\frac{5}{2}\pi-\alpha)=\text{ctg}[2\pi+(\frac{\pi}{2}-\alpha)]=\text{ctg}(\frac{\pi}{2}-\alpha)$.
Затем применили формулы приведения.

Пример 2.

Упростить выражение $\text{tg}15^\circ \text{tg}30^\circ \text{tg}45^\circ \text{tg}60^\circ \text{tg}75^\circ$.

Решение:

$\text{tg}15^\circ \text{tg}30^\circ \text{tg}45^\circ \text{tg}60^\circ \text{tg}75^\circ=\text{tg}15^\circ \cdot \frac{1}{\sqrt 3} \cdot 1 \cdot \sqrt 3 \cdot \text{ctg}15^\circ=\text{tg}15^\circ \text{ctg}15^\circ=1$.
Заметим, что углы в $15^\circ$ и $75^\circ$ — дополнительные, поэтому можно перейти к одному из них: $\text{tg}75^\circ=\text{ctg}15^\circ$. Наконец, используем основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha \text{ctg}\alpha =1$.

В примерах, в которых требуется упростить (тождественно преобразовать) тригонометрическое выражение, наряду с тождественными алгебраическими преобразованиями будут использоваться в дальнейшем и все другие тригонометрические формулы.