ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.7. Доказательство тригонометрических тождеств

Определение

Тождество, содержащее тригонометрические функции, называют тригонометрическим тождеством.

Важнейшие тригонометрические тождества называют формулами, которые следует хорошо помнить, чтобы успешно применять, в частности, при доказательстве других тригонометрических тождеств.
В каждом тождестве исключаются из рассмотрения те значения аргумента, при которых формула теряет смысл. Например, тождество $\text{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ не рассматривается при $\alpha=\pm\frac{\pi}{2}+ 2\pi n$, где $n=0, \pm1, \pm 2, ...$, так как при этих значениях аргумента $\cos \alpha =0$ и $\text{tg} \alpha$ не определен (теряет смысл).
При доказательстве тождеств обычно берут ту его часть (левую или правую), которая представляет собой более сложное выражение, и упрощают ее посредством тождественных преобразований. Если при этом получим выражение, стоящее в другой части доказываемого тождества, то тождество считается доказанным. Если полученное выражение отличается от другой части тождества, то и другую часть тождества упрощают, пока не получатся в обеих частях тождества одинаковые выражения.

Пример 1.

Доказать тождество $\frac{1}{\sin ^2\alpha\cos^2\alpha}=(\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha)^2$.

Доказательство:

Первый способ.

$(\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha)^2=(\frac {\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac {\cos \alpha}{\sin \alpha})^2=(\frac {\sin ^2 \alpha +\cos ^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha})^2 =(\frac {1}{\sin \alpha \cos \alpha})^2 = \frac {1}{\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha}$.

Тождество доказано.

Второй способ. Преобразовывая правую часть, перейдем к $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ не вначале, а в конце:

$(\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha)^2=\text{tg} ^2 \alpha +2\text{tg} \alpha \text{ctg} \alpha + \text{ctg} ^2\alpha = \text{tg} ^2 \alpha +2+ \text{ctg} ^2\alpha= ( \text{tg} ^2 \alpha +1)+( \text{ctg} ^2\alpha+1)=$ $\frac{1}{ \cos^2 \alpha}+\frac{1}{ \sin ^2\alpha}=\frac {\sin ^2 \alpha +\cos ^2 \alpha}{\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha} = \frac {1}{\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha}$.

Третий способ. Можно доказать данное тождество, преобразовывая левую часть. Иногда выгодно единицу заменить через $\sin ^2 \alpha +\cos ^2 \alpha$ (основное тригонометрическое тождество). Получим

$\frac{1}{\sin ^2\alpha \cos^2 \alpha}=\frac {\sin ^2 \alpha +\cos ^2 \alpha}{\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha}=\frac {\sin ^2 \alpha }{\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha}+\frac {\cos ^2 \alpha}{\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha}=\frac {1 }{\cos ^2\alpha}+\frac {1}{\sin ^2\alpha}=$ $1+\text{tg} ^2 \alpha +1+ \text{ctg} ^2\alpha= \text{tg} ^2 \alpha +2+ \text{ctg} ^2\alpha=(\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha)^2$,

т.е. в левой части получили такое же выражение, которое находится в правой части доказываемого тождества.

Четвертый способ. Левую часть тождества представим в виде произведения двух дробей:

$\frac{1}{\sin ^2\alpha} \frac{1}{\cos^2 \alpha}=(1+\text{tg} ^2 \alpha) (1+ \text{ctg} ^2\alpha)=1+\text{tg} ^2 \alpha + \text{ctg} ^2\alpha +\text{tg} ^2 \alpha \text{ctg} ^2\alpha =$ $1+\text{tg} ^2 \alpha + \text{ctg} ^2\alpha +1= \text{tg} ^2 \alpha +2 + \text{ctg} ^2\alpha =(\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha)^2$.

Из различных способов решения примера или задачи всегда нужно стремиться выбрать тот, который проще, короче. В рассмотренном примере таким является первый способ, однако не считается ошибкой применение любого другого способа.