ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 12. Тригонометрические функции и треугольники

12.1. Соотношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников

Любой прямоугольный треугольник путем перемещения на плоскости можно расположить относительно системы координат. Обозначим через $A$ и $B$ острые углы и через $a$ и $b$ противолежащие им катеты; $C$ — прямой угол треугольника $ABC$ и $c$ — его гипотенуза.

Рассматриваем радиус-вектор ${\overset{\rightharpoonup }{AB}}$, для которого ордината $y=a$, абсцисса $x=b$ и длина радиус-вектора $r=c$.

Так как
$\frac{y}{r}=\sin A$ , $\frac{x}{r}=\cos A$ , $\frac{y}{x}=\text{tg} A$,
то заменив $y$, $x$, $r$ на $a$, $b$, $c$, получим:
$\frac{a}{c}=\sin A$ , $\frac{b}{c}=\cos A$ , $\frac{a}{b}=\text{tg}A$.

Отсюда находим катеты:
$a=c\,\sin A$ , $b=c\,\cos A$ , $a=b\,\text{tg}A$, $b=\frac{a}{\text{tg}A}=a\,\text{ctg}A$
и гипотенузу из первого и второго равенств:
$c=\frac{b}{\cos A}$ и $c=\frac{b}{\cos A}$.

На основании свойства дополнительных углов $A$ и $B$ запишем:
$\sin A=\cos B$ , $\cos A=\sin B$ , $\text{tg}A=\text{ctg}B$.

Получили тригонометрические соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника:
1) $a=c\,\sin A=c\,\cos B$ и $b=c\,\cos A=c\,\sin B$.
Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла.

2) $a=b\,\text{tg}A=b\,\text{ctg}B$ и $b=a\,\text{ctg}A=a\,\text{tg}B$.
Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к первому катету угла.

3) $c=\frac{a}{\sin A}=\frac{a}{\cos B}=\frac{b}{\sin B}=\frac{b}{\cos A}$.
Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла.

На этих правилах основаны следующие случаи решения прямоугольных треугольников.

1) Даны один из катетов и один из острых углов, например $a$ и $B$. Требуется вычислить: $A$, $b$, $c$.

Решение:
$A=90{}^{\circ}-B$ ; $b=a\,\sin B$ ; $c=\frac{a}{\cos B}$.

2) Даны гипотенуза $c$ и острый угол, например $A$. Определить: $B$, $a$, $b$.

Решение:
$B=90{}^{\circ}-A$ ; $a=c\,\sin A$ ; $b=c\,\cos A$.

3) Даны гипотенуза $c$ и катет, например $b$. Вычислить: $A$, $B$, $a$.

Решение:
$\cos A=\frac{b}{c}$ ; $B=90{}^{\circ}-A$ ; $a=c\,\sin A$.

4) Даны катеты $a$ и $b$. $A$, $B$, $c$=?

Решение:
$\text{tg} A=\frac{a}{b}$ ; $B=90{}^{\circ}-A$ ; $c=\frac{a}{\sin A}$.