ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 13. Формулы сложения, формулы двойного и половинного аргумента.

13.1. Синус суммы и синус разности двух аргументов

Так называются формулы:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta +\cos \alpha \sin \beta$;

$\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$.

Выведем первую формулу для углов $\alpha$ и $\beta$ таких, что $\alpha+\beta$. Возьмем треугольник $ABC$ (см. рисунок) с угла­ми $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ и высотой $CD$.

Из прямоугольных треугольни­ков $ACD$ и $BCD$ найдем катеты $AD=b\cos \alpha$, $BD=a\cos \beta$, $c=b\cos \alpha +a\cos \beta$.
Это равенство верно для случая, когда $\alpha$ и $\beta$ — тупой или прямой угол. Из теоремы синусов:

$c=2R\sin \gamma$, $b=2R\sin \beta$, $a=2R\sin \alpha$.

Заменим $a$, $b$, $c$ их значениями из последних равенств:

$2R\sin \gamma =2R\sin \beta \cos \alpha +2R\sin \alpha \cos \beta$.

Разделим обе части равенства на $2R$ и заменим $\sin \gamma$ равным ему $\sin(\alpha+\beta)$ (синусы двух углов $\gamma$ и $\alpha+\beta$, составляющих в сумме $180^{\circ}$, равны:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

Формула доказана для углов $\alpha+\beta$, но она верна для любых $\alpha$, $\beta$(этого здесь не будем доказывать).
Синус разности можно представить в виде синуса суммы и применить выведенную формулу:

$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$.

Итак,

$\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$.