Алгебра

Глава 14. Преобразование сумм и разностей тригонометрических функций в произведения и обратное преобразование

14.1. Сумма синусов и разность синусов

Так называются следующие формулы, левая часть которых есть сумма или разность синусов, а правая — тождественно равное ей произведение тригонометрических функций:

\sin\alpha+ \sin\beta =2\sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2},
{\text{sin$\alpha $}- \text{sin$\beta $}=2 \cos\frac{\alpha +\beta }{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}.}

Для вывода этих формул используем синус суммы и синус разности:

{\sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y},
{\sin(x-y})=\sin x\cos y-cos x \sin y.

Почленно сложив эти два равенства, а затем вычтя из первого второе, получим следующие равенства:

{\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y,}
{\sin(x+y)-\sin(x-y) =2\cos x\sin y.}

Пусть x+y=\alpha и x-y=\beta, откуда получим:

{x=\frac{\alpha +\beta }{2},}
{y=\frac{\alpha -\beta }{2}.}

Подставив вместо x и y полученные выражения, и формулы обретут окончательный вид:

{\sin\alpha +\sin\beta =2\sin\frac{\alpha +\beta}{2}\cos\frac{\alpha -\beta}{2},}
{\sin\alpha-\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.}