ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 15. Тригонометрические уравнения

15.1. Обратные функции

Всякая функция есть однозначное соответствие: каждому значению аргумента $x$ соответствует определенное (одно и только одно) значение функции $y$. Если и обратное соответствие однозначно, т. е., если каждому значению функции $y$ соответствует одно и только одно значение аргумента $x$, то существует обратная функция $x$ от аргумента $y$ . Например, для функции $y=3x$ обратной будет $x=\frac{1}{3}y$ . Но в любых функциях (в том числе и обратных) принято через $x$ обозначать аргумент, а через $y$ — функцию, поэтому обратная функция запишется так: $y=\frac{1}{3}x$ .

Итак, функции $y=3x$ и $y=\frac{1}{3}x$ — взаимно обратные: если $y=3x$ считать прямой функцией, то $y=\frac{1}{3}x$ — обратная ей и, наоборот, если $y=\frac{1}{3}x$ прямая функция, то $y=3x$ — ей обратная.

Область определения обратной функции такая же, как область изменения прямой функции.
Для функции $y=x^2$ обратное соответствие не однозначно, а двузначно: $x=\pm \sqrt{y}$ (или в общепринятом обозначении $y=\pm \sqrt{x}$ поэтому для $y=x^2$ обратной функции не существует. Если же ограничить область определения функции $y=x^2$ неотрицательными значениями $x$, то существует обратная функция $y=\sqrt{x}$ (корень арифметический). Ее область изменения есть $y\geq 0$ и график симметричен половине параболы $y=x^2$ $(y\geq 0)$ относительно биссектрисы $y=x$.

Итак, график обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов системы координат.