Теоретические материалы

Планиметрия

2. Треугольники

2.2. Свойства равнобедренного треугольника. Осевая симметрия

Теорема

1. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является его медианой и высотой.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Дано: \triangle ABC, AB=BC, \angle{1} =\angle{2}.

Требуется доказать:

1) AD=DC, BD перпендикулярен AC;

2) \angle A=\angle C.

Доказательство:

Доказывается теорема вращением треугольника ABD вокруг BD до совмещения равных углов (\angle 1 и \angle 2) и равных сторон(AB и BC). При этом совместятся AD и DC, \angle{BDA} и \angle{BDC}, \angle{A} и \angle{C}.

\boxtimes

Следствие 1

Так как из вершины равнобедренного треугольника можно провести только одну медиану и только одну высоту, то медиана всегда является биссектрисой и высотой, а высота — биссектрисой и медианой.

Следствие 2

В равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны.

Следствие 3

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны.

Определение

Две фигуры (в частности, две точки) называются симметричными относительно прямой (оси симметрии), если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой они совмещаются.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Следствие 4

В равнобедренном треугольнике осью симметрии является биссектриса (медиана, высота) угла при его вершине.