Теоретические материалы

Планиметрия

2. Треугольники

2.4. Теорема о внешнем угле треугольника

Определение

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника (треугольника), называется его внешним углом.

Теорема

Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Дано: \triangle ABC, \angle ACD — внешний. Требуется доказать: \angle ACD > \angle A,\angle ACD > \angle ABC.

Доказательство:

Проведем медиану BO и на ее продолжении отложим отрезок OE=OB. \triangle AOB = \triangle COE . В этих треугольниках против BO и OE лежат равные углы: \angle A и \angle OCE. Но \angle OCE лишь часть угла ACD, a поэтому \angle ACD>\angle A. Для доказательства того, что \angle ACD >\angle ABC, нужно было бы провести медиану к стороне BC и взять внешний угол BCF, равный углу ACD. \boxtimes

Следствие 1

Из точки, взятой вне прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Доказательство:

Пусть из точки C на прямую AB опущен перпендикуляр. Тогда \angle CDA=\angle CDB=90^{\circ}. Допустим,что из C можно провести к AB еще один перпендикуляр CF. Тогда \angle CFD = 90^{\circ} и будет равен внешнему углу CDB треугольника FCD, не смежному с углом CFD, что по теореме невозможно. Следовательно, допущение о том, что можно опустить второй перпендикуляр из точки C на прямую AB, неправильно.

Следствие доказано.

Следствие 2

В прямоугольном треугольнике только один внутренний угол прямой, два других острые.

Следствие 3

В тупоугольном треугольнике только один внутренний угол тупой, а два других острые.