Планиметрия

2. Треугольники

2.9. Основные задачи на построение на плоскости

В геометрии построения обычно выполняются с помощью циркуля и линейки.

Пример 1

Построить угол, равный данному.

Решение:

Пусть дан угол \angle ABC (см. рис.). Проведем произвольную прямую MN, на которой поместим сторону искомого угла. Возьмем на ней какую-то точку K в качестве вершины угла. Одним и тем же радиусом опишем дуги из двух центров: B и K . Измерим циркулем хорду EF и отложим такую же хорду из точки D: DL = EF . Проведем луч KL . Докажем, что \angle LKD=\angle ABC. \triangle LKD=\triangle EBF (по трем сторонам). В равных треугольниках против равных сторон (LD=EF) лежат равные углы: \angle LKD= \angle ABC.

Пример 2

Разделить угол пополам, т. е. построить биссектрису угла или провести ось симметрии угла.

Решение:

Пусть дан \angle ABC (см. рис.). Из вершины B , как из центра, опишем дугу DE произвольного радиуса. Из точек D и E опишем дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись. Точку их пересечения F соединим с вершиной B . Докажем, что BF — биссектриса \angle ABC. \triangle BDF=\triangle BEF (по трем сторонам: BD = BE и DF=EF по построению, BF — общая). Против равных сторон DF и EF в равных \triangle -ах лежат равные углы: \angle ABF — \angle FBC. BF — ось симметрии угла.

Пример 3

Разделить отрезок пополам (иначе: провести перпендикуляр
к отрезку через его середину или построить ось симметрии отрезка).

Решение:

Пусть дан отрезок AB (см. рис.). Из концов отрезка, как из центра, проведем две пересекающиеся между собою дуги одинакового радиуса и соединим прямой точки их пересечения C и D. Докажем, что точка O пересечения CD и AB и есть середина данного отрезка, a CD \bot AB. \triangle CAD = \triangle CBD {по трем сторонам). Так как AD=BD, то лежащие против них углы равны: \angle ACD = \angle BCD. CO — биссектриса равнобедренного \triangle-а ACB CA=CB , поэтому CO — медиана и высота. AO=OB, CD \bot AB. CD — ось симметрии отрезка AB .

Пример 4

Из точки на прямой восстановить к ней перпендикуляр (или построить прямой угол).


Решение:

Пусть даны прямая AB и точка C на ней (см. рис.). Откладываем на прямой от точки C произвольные, но равные отрезки: CM=CN . Из точек M и N проводим пересекающиеся дуги одинакового радиуса. Проводим прямую через точку C и точку пересечения дуг D . Докажем, что DC \bot AB. Соединив D с M и N , получим равнобедренный треугольник MDN ( MD , ND — равные радиусы). DC— медиана равнобедренного \triangle -ка (отложено CM=CN ), которая является и высотой. DC \bot AB.

Пример 5

Из точки, лежащей вне прямой, опустить на эту прямую перпендикуляр.

Решение:

Пусть даны прямая AD и точка C вне ее (см. рис.). Из точки C произвольным радиусом проведем дугу, которая пересечет AD. Из точек пересечения M и N одинаковым радиусом проведем пересекающиеся дуги и соединим точку их пересечения K с C. Докажем, что CK \bot AD . \triangle CMK= \triangle CNK (по трем сторонам). MK=NK , \angle MCK=\angle NCK. \triangle MCN — равнобедренный и его биссектриса CO является и высотой. CO \bot OD.

Пример 6

Построение треугольника по стороне и двум углам, прилежащим к ней.

Отложим отрезок a и при нем (по одну сторону) построим углы B и C с вершинами в концах отрезка. Если стороны этих углов пересекутся, то полученный при этом треугольник ABC — искомый.

Сколько бы ни построили таких треугольников с заданными элементами a, B и C, все они равны между собой.

Пример 7

Построение треугольника по трем сторонам.

На произвольной прямой от некоторой точки отложим отрезок, равный стороне b, и из его концов опишем дуги: одну — радиусом a, другую — радиусом c. Если эти дуги пересекутся, то одну из точек их пересечения соединим с концами стороны b. Получим искомый треугольник, который по своим размерам будет единственным, однако может занимать различные положения на плоскости.