Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.5. Наклонные и их проекции на плоскость. Угол наклонной с плоскостью

Определение 1

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.

Определение 2

Точка пересечения перпендикуляра (наклонной) с плоскостью называется основанием перпендикуляра (наклонной).

Определение 3

Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных к плоскости из одной и той же точки вне ее, называется проекцией наклонной на эту плоскость.

Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше;
3) (обратная) равные наклонные имеют равные проекции;
4) (обратная) большей наклонной соответствует большая проекция.

Повернув прямоугольные треугольники вокруг общего их катета (перпендикуляра к плоскости) до совмещения их плоскостей, получим все наклонные (гипотенузы) и их проекции (другие катеты) в одной плоскости, где эти теоремы верны.

Следствие

Перпендикуляр к плоскости меньше всякой наклонной, проведенной к той же плоскости из той же точки вне ее (катет меньше гипотенузы).

Определение 4

Расстоянием точки от плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Определение 5

Углом между наклонной и плоскостью называется острый угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

Теорема 5

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из всех углов, образуемых данной наклонной с прямыми, лежащими в данной плоскости.