Теоретические материалы

Планиметрия

1. Введение

1.1. Понятие об аксиоме и теореме

Наука начинается с установления понятий, геометрия — с понятий геометрическое тело (часть пространства, ограниченная со всех сторон); поверхность (граница тела), в частности плоскость; линия (граница поверхности), в частности прямая линия; точка (общая часть двух встречающихся прямых). Плоскость и прямую можно продолжать неограниченно, они не имеют толщины. В дальнейшем понятия вводятся с помощью определений.

Определение

Любую совокупность точек, линий, поверхностей и тел называют фигурой. В геометрии изучают свойства фигур.

Результат изучения свойств фигур (или чисел, величин, их соотношений, операций над ними) выражается математическим предложением.

Определение

Математическое предложение, правильность которого доказывается, называют теоремой.

Определение

Математическое предложение принимаемое без доказательства, называют аксиомой.

Приведем аксиомы, выражающие свойства прямой, плоскости и отрезка.

Аксиома 1

Через две точки можно провести прямую линию и притом только одну.

Аксиома 2

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит плоскости.

Аксиома 3

Отрезок прямой короче всякой другой линии (ломаной или кривой), соединяющей его концы.

Расстояние между двумя точками измеряется по прямой линии. В геометрии используются еще и такие аксиомы, которые уже применялись в арифметике и алгебре (сформулируем их для произвольных величин A, B и C):

Аксиома 4

Если A=B и B=C, то A=C.

Аксиома 5

Если A=B, то A+C=B+C и A-C=B-C.

Теорема состоит из условия (того, что дано) и заключения (утверждения, которое требуется доказать). Условие может начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Теоремы, например: «Вертикальные углы равны», «Углы при основании равнобедренного треугольника равны» можно сформулировать так: «Если углы вертикальные, то они равны», «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны».

Если условие данной теоремы сделать заключением, а заключение — условием, то первая теорема будет прямой, а полученная — обратной теоремой.

Теоремы, обратные приведенным выше: «Если углы равны, то они вертикальные», «Если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный». Первая из этих теорем неверна, хотя ее прямая теорема верна. Каждая обратная теорема требует своего доказательства.

Определение

Предложение, непосредственно вытекающее из теоремы, называют следствием.

Определение

Вспомогательную теорему, которая вводится для облегчения доказательства основной теоремы, называют леммой.