Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 1. Натуральные числа

1.2. Запись натуральных чисел

Учитель

Рассмотрим запись натуральных чисел в десятичной системе счисления, т.е. при помощи десяти цифр: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

Имейте ввиду, что цифр всего $10$ (именно поэтому система счисления и называется десятичной), а чисел бесконечно много. Числа составляются из цифр.

И вообще, чтобы иметь дело с числами, необходимо прежде всего уметь называть и записывать их. Правильно это все сделать позволяет понятие системы счисления.

Ученик

А что такое система счисления?

Определение

Системой счисления принято называть совокупность приемов наименования и обозначения (записи) чисел. Условные знаки, применяемые при обозначении чисел, обычно называют цифрами. В ряде систем счисления числа записывают как последовательности цифр. Например, $10874$, $555$, $XXVIII$.

Учитель

Более подробную информацию ты можешь прочитать здесь.

Цифры, при помощи которых записано натуральное число, при чтении справа налево указывают последовательно, сколько в данном числе содержится единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.

Ученик

Если честно, пока мне ничего не понятно. Может примерчик.

Учитель

Да пожалуйста, например,$1992$
$2$ — цифра единиц, $9$ — цифра десятков, $9$ — цифра сотен, $1$— цифра тысяч,
т.е. $1992=1\times1000+9\times100+9\times10+2$.

Ученик

А если число будет очень большое. Скажем, из 20 цифр?

Учитель

В общем случае систематическая запись натурального числа $a$ определяется при помощи цифр $a_0,a_1,a_2,...,a_n$ следующим образом.

Определение

Систематической записью натурального числа называют представление этого числа в виде суммы:
$a=a_n\times10^n+...+a_1\times10+a_0$, где $a_n,...,a_1,a_0\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, причем $a_n\neq0$.

Ученик

Мне незнаком символ $\in$ . Что он обозначает?

Учитель

$\in$ — это символ принадлежности множеству. Например, $3\in\{1,2,3,4\}$, но $5\notin\{1,2,3,4\}$. Вообще говоря, математики в фигурные скобки заключают элементы множества:
$\{1\}$ — одноэлементное множество, содержащее единичку.
$\{3,5,2,4\}$ — четырехэлементное множество, элементами которого являются, например, ваши оценки в дневнике.

Элементы в множестве можно указывать в произвольном порядке, поэтому $\{3,5,2,4\}=\{2,3,4,5\}=\{5,2,3,4\}$.
$\{1,2,3,4,...\}$ — бесконечное множество (в данном случае — натуральный ряд).
{} = Ø — пустое множесто, т.е. такое множество, в котором нет элементов.
Т.о. множество — это неупорядоченный набор элементов.

Ученик

Вот вы говорите все множество да множество, интересно, кто ввел это понятие ?

Учитель

Конечно "кто-то" ввел понятие множества. И этим "кто-то" является известный в мире математиков человек Георг Кантор.
Вообще, это тебе для общего развития, понятие множества — простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д.
Ну как, интересно?

Ученик

Интересно, но не совсем понятно: почему в определении систематической записи $a_n\neq0$?

Учитель

Давайте рассмотрим конкретный пример:

Пусть дано число $1103$.
Его систематическая запись следующая: $1\times1000+1\times100+0\times10+3$.
$a_3=1,\,\,a_2=1,\,\,a_1=0,\,\,a_0=3$.
$n=3$ — порядок числа — наибольшая степень десятки входящей в систематическую запись числа.
В данном случае $n=3$, т.к. первое ненулевое число стоит при $1000=10^3$

Если бы $a_3=0$ (т.е. мы бы имели дело с числом $103$), то систематическую запись числа мы бы начали писать с сотен (с $10^2$), а не с тысяч.
Итак,
$103=1\times100+0\times10+3$ (правильная систематическая запись: порядок числа $n=2$, $a_2\neq0$)
$103=0\times1000+1\times100+0\times10+3$(неправильная систематическая запись: $n=3$,$a_3=0$)
$103=0\times10^4+0\times1000+1\times100+0\times10+3$ (неправильная систематическая запись: $n=4$,$a_4=0$ )
Таким образом, условие $a_n\neq0$ обеспечивает нам единственность систематической записи числа.

В математике строго доказывается, что всякое натуральное число может быть единственным образом представлено в виде систематической записи. Вместо громоздкой записи $a=a_n\times10^n+...+a_1\times10+a_0$ используют запись $a=\overline{a_n...a_1a_0}$

Ученик

А зачем "крышка" над ${a_n...a_1a_0}$?

Учитель

Черту сверху пишут для того, чтобы отличить эту запись от произведения чисел $a_n,...,a_1,a_0$. Однако, ты можешь встретить в математической литературе запись $6!$(шесть факториал), что означает $1\times2\times3\times4\times5\times6$.

Ученик

Значит, чтобы коротко изобразить произведение всех натуральных чисел от $1$ до $k$, достаточно написать $k!$.