Алгебра

Глава 1. Натуральные числа

1.3. Арифметические действия над натуральными числами

Учитель

К арифметическим или рациональным действиям над числами относят
сложение +,
вычитание -,
умножение \times,
деление : (или /).

Ученик

И все эти операции можно выполнять над натуральными числами?

Учитель

Только два из этих действий — сложение и умножение — определены на множестве натуральных чисел \mathbb{N}.

Действительно, деление и вычитание не всегда возможны на множестве \mathbb{N}.
Например, 5 - 15 = -10
Разностью двух натуральных чисел 5 и 15 является -10, а это число не натуральное!
Скоро вы узнаете, что -10 является целым числом.
4:8=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0.5
Частным двух натуральных чисел 4 и 8 является 0.5, а это число не натуральное!
Скоро вы узнаете, что 0.5 является рациональным числом.

Ученик

Т.е. натуральные числа вообще делить и отнимать нельзя?

Учитель

Обращаю твое внимание на некоторую тонкость:
действительно, операции вычитания и деления НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ на множестве \mathbb{N}, но это вовсе не значит, что вычитать и делить натуральные числа нельзя.

2 - 8 = -6 (-6 — число не натуральное).
НО 8 - 2 = 6 (6 — число натуральное).
Т.е. каждый раз мы с тобой брали разность и иногда выходили за пределы множества натуральных чисел (в примере выше мы получили целое число).

Определение

Определенной операцией называют операцию на некотором множестве, если ее выполнение НИКОГДА не выведет нас за пределы данного множества.

Учитель

Так, сложение и умножение двух натуральных чисел ВСЕГДА будет числом натуральным, сколько бы раз мы эти операции не выполняли (в какой бы последовательности мы их не комбинировали).

Ученик

Понятно! Все это можно проверить и на калькуляторе.

Учитель

Из натуральных чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Порядок выполнения арифметических действий в числовом выражении следующий:
\to вначале выполняют действия в скобках;
\to внутри любых скобок или в выражении без скобок сначала действия умножения и деления;
\to потом сложения и вычитания.

Например, если нужно найти значение выражения
(23\cdot25+(1992-1873)\cdot31)+289:17,
то порядок выполнения арифметических действий такой:
1) Умножил 23 на 25, получил 575
2) Подсчитал разность 1992 и 1873, получил 119
3) Значение этой разности (119) умножил на 13 и получил 3689
4) Сложил сумму, полученную в пункте 1) с произведением, полученным в пункте 3), т.е. 575+3689=4264
5) Нашел результат деления 289 на 17. Получил 17.
6) Сложил результаты пунктов 5) и 4), получил 4281.