Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 1. Натуральные числа

1.6. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Учитель

Ранее мы назвали делители числа $24$. Теперь попробуем разложить составные числа на простые множители.

Определение

Разложить число на простые множители — это значит представить его в виде равного ему произведения простых чисел.

Пример

Учитель

Разложение на простые множители чисел $30$ и $120$ будет выглядеть следующим образом:
$30=2\times3\times5$ ; $120=2^3\times3\times5$.
Разложение на простые множители чисел $198$, $2574$, $255$ можно представить и в другом виде:

Ученик

Сейчас я запишу это в строчку
$198=2\times3^2\times11;$ $2574=2\times3^2\times11\times 13;$ $255=3\times5\times17$.

Учитель

Очень хорошо! Ты просто гений.

Ученик

А мне еще не понятно, как ты так быстро угадал, что число $255$ делится на $3$?

Учитель

А это просто. Я воспользовался признаком делимости на $3$. Давай-ка мы обратим внимание на то, что в только-что записанных тобой произведениях повторяется число $3$.

Определение

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называется общим делителем этих чисел.

Ученик

Т.е. в нашем случае число $3$ и есть общий делитель?

Учитель

Да, это я и хотел сказать. А если взять числа $15$ и $30$, то у них, как ты видишь, три общих делителя: $3$, $5$ и $15$ (не считая $1$).

Ученик

Не понимаю?...

Определение

Самый больший из общих делителей данных чисел называется их наибольшим общим делителем и сокращенно пишется НОД.

Учитель

Ты должен запомнить, что НОД играет большую роль в математике.

Ученик

Я уже вижу, что в математике все понятия играют большую роль. И как их все запомнить ?. А как же найти этот НОД?

Учитель

Не переживай, они сами запомнятся с течением времени, если ты будешь регулярно ими пользоваться .
Итак, продолжим. Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно разложить их на простые множители, выписать их общие простые множители и перемножить.

Например, $210=2\times3\times5\times7$; $90=2\times3\times3\times5$; $750=2\times3\times5\times5\times5$. НОД$(210, 90,750)=2\times3\times5=30$.

Ученик

Это хорошо. Но ведь есть числа, у которых нет общих делителей кроме единицы! Вот, например, $8$ и $15$, $27$ и $40$.

Учитель

Да, ты правильно заметил.

Определение

Числа, не имеющие общих делителей (кроме единицы), называются взаимно простыми.

Ученик

Так что же это получается: все простые числа будут и взаимно простыми?

Учитель

И в этом случае ты прав! Однако, нам еще необходимо рассмотреть такое понятие, как наименьшее общее кратное НОК.

Определение

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называется общим кратным этих чисел.

Учитель

Так, для чисел $3$ и $8$ общим кратным будет каждое из чисел: $24$, $48$, $72$, $96$, $120$ и т.д.

Ученик

Значит, общих кратных у любых данных чисел бесконечно много?

Учитель

Конечно. Однако, хотелось бы найти такое общее кратное, которое было бы наименьшим.

Определение

Самое меньшее из общих кратных данных чисел называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Ученик

Да, я понимаю и даже могу привести примеры общих кратных у некоторых чисел.

НОК$(3$ и $8)=24$, НОК$(5,12,20)=60$.

Учитель

Молодец. А как ты думаешь, каким будет НОК у взаимно простых чисел?

Ученик

Сейчас соображу. У них нет общих кроме единицы делителей, а поэтому их произведение и есть их НОК!

Учитель

Это просто потрясающе! Какое великолепное умозаключение.
И в конце наших изысканий я хочу тебе поведать о том, как находить НОК, если он не очевиден.

В этом случае данные числа разлагают на простые множители. Затем из самого большого числа выписывают все множители и к ним приписывают недостающие множители из разложений остальных чисел.

Например, $63=3\times3\times7$; $280=2\times2\times2\times5\times7$; $150=2\times3\times5\times5$; НОК$(63,280,150)=2\times2\times2\times5\times7\times3\times3\times5=280\times45=12600$.

Ученик

Да, я доволен, мне понравилось.