Алгебра

Глава 1. Натуральные числа

1.4. Делитель и кратное. Простые и составные числа

Пример 1

Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?

Решение:

Пусть искомое число n= p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k , где p_1, p_2, ... , p_k — простые числа и p_1< p_2< ... < p_k . Так как n делится на каждое из чисел p_1-1, p_2-1, ... , p_k-1, а они все, кроме возможно числа p_1-1, — четные. Это значит, что среди сомножителей p_1, p_2, ... , p_k присутствует число 2, т.е. p_1=2. Тогда n= 2\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k . Рассмотрим число p_k-1=2q_k . По условию число 2q_k делит n= 2\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k. Это значит, что q_k является делителем числа p_2 \cdot ... \cdot p_{k-1}. Это возможно, если q_k есть некоторое число или произведение некоторого набора чисел из набора p_2 ,... , p_{k-1}. Учитывая это условие и то, что число n_1= 2\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_{k-1} обладает тем же свойством, что и число n, получаем способ получения искомых произведений: на каждом этапе следующий множитель p_k определяется набором множителей 2, p_2 ,... , p_{k-1}. Поэтому будем строить искомые произведения, начиная с двух сомножителей.

1. Пусть k= 2 . Тогда n=2\cdot p_2 . Учитывая, что p_2-1=2q_2 и 2q_2 делит число 2, получаем q_2=1. Тогда p_2=3 и n = 2 \cdot 3 = 6.

2. Пусть k=3. Тогда n= 2\cdot p_3. Учитывая, что p_3-1=2q_3 и 2q_3 делит число 2\cdot 3, получаем q_3=3. Тогда p_3=7 и n= 2\cdot 3 \cdot 7 = 42.

3. Пусть k= 4 . Тогда n= 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot p_4. Учитывая, что p_4-1=2q_4 и 2q_4 делит число 2\cdot 3 \cdot 7, получаем возможные значения q_4=3 или q_4=7, или q_4=3\cdot 7 =21 . Тогда p_4=7 (уже есть такой множитель) или p_3=15 (не простое число), или p_4=43. Тогда n= 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot 43= 1806.

4. Пусть k= 5. Тогда n= 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot 43 \cdot p_5. Учитывая, что p_5-1=2q_5 и 2q_5 делит число 2\cdot 3 \cdot 7\cdot 43, получаем возможные значения q_5 и p_5:

q_5=3 , p_5=7 (такой множитель есть);

q_5=7 , p_5=15 (не простое число);

q_5=3\cdot 7 , p_5=43 (такой множитель есть);

q_5=43 , p_5=87 (не простое число, делится на 3);

q_5=3\cdot 43 , p_5=257 (не простое число, делится на 7);

q_5=7\cdot 43 , p_5=603 (не простое число, делится на 3);

q_5=3\cdot 7\cdot 43 , p_5=1807 (не простое число, делится на 13).

Следовательно, искомого произведения из пяти сомножителей не существует, а значит не существует подобных произведений и с большим числом сомножителей.

Ответ:

6, 42, 1806

.