Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение

Несколько уравнений, в которых одноименные неизвестные обозначают одну и ту же величину, называются системой уравнений.
Система вида \left\{\begin{array}{c}{a_1}x+{b_1}y={c_1}\\ {a_2}x+{b_2}y={c_2}\end{array}\right. называется нормальной формой системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Решить такую систему — значит найти множество всех общих для обоих уравнений решений.

Ученик:

А как же решать такую систему?

Учитель:

Решать такую систему можно, например, графически. Обычно такая система графически представляется двумя прямыми линиями, и общим решением этих уравнений (решением системы) будут координаты общей точки двух прямых. Здесь возожны три случая:
1) Прямые (графики) имеют только одну общую точку (пересекаются) — система уравнений имеет единственное решение и она называется определенной.
2) Прямые (графики) не имеют общих точек (параллельны) — система не имеет решения и она называется несовместной.
3) Прямые (графики) имеют бесконечно много общих точек (совпадают) — система имеет бесконечное множество решений и называется неопределенной.

Ученик:

Что-то я пока не понимаю. Может с примерами понятнее будет?

Учитель:

Конечно, сейчас приведем по примеру на каждый случай и все сразу станет понятнее.

Начнем с примера, когда система определенная (имеет единственное решение). Возьмем систему \left\{\begin{array}{c}2x-4y=-6\\ 2x+y=4\end{array}\right.. Построим графики этих функций.

Рис.1

Они пересекаются только в одной точке, следовательно решением этой системы являются только координаты точки: x=1, y=2.

Теперь приведем пример несовместной системы (той, которая не имеет решения). Рассмотрим такую систему \left\{\begin{array}{c}3x-4y=12\\ 3x-4y=18\end{array}\right..

В этом случае система противоречива: левые части равные, а правые части при этом различны. Графики не имеют общих точек (параллельны), следовательно система не имеет решения.

Рис.2

Ну теперь остался последний случай, когда система неопределенная (имеет бесконечное множество решений). Вот пример такой системы: \left\{\begin{array}{c}7x+6y=-42\\ 3,5x+3y=-21\end{array}\right.. Построим графики этих уравнений.

Рис.3

Прямые (графики) имеют бесконечно много общих точек (совпадают), значит система имеет бесконечное множество решений. В этом случае уравнения системы равносильны (умножив второе уравнение на 2, получим первое уравнение).

Наиболее важным является первый случай. Единственное решение такой системы всегда можно найти графически — иногда точно, а чаще всего приближенно с необходимой степенью точности.

Определение

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения каждой из них являются и решениями другой (множества решений совпадают) или если обе не имеют решений.